为什么要定义monad的单位自然变换 - monad作为endofunctor的定义是不是暗示了这一点？

Question

1. monad被定义为类别C上的endofunctor。假设C，类型为int，bool和其他构造类型为对象。现在让我们考虑一下这个类别中定义的monad列表。

通过它的定义列表然后是一个endofunctor，它将一个int类型映射（可以解释为一个函数吗？）到List [int]和bool到List [bool]并映射（再一个函数？）a morphism int - ＆gt;布尔到 List [int] - ＆gt;列表[BOOL]

所以，到目前为止，这有点道理。但令我陷入深深困惑的是需要伴随它的自然变换的额外定义： 一个。 Unit ...将int转换为List [int]（List functor的定义是否已经暗示了这个？这是我有一个主要的困惑

湾是否总是必须将List仿函数理解为从int到List [int]的映射，而不是从int到List [bool]的映射？

℃。 List [int]中的单元自然转换int是不同于从int到List [int]的映射，将List定义为functor是隐含的吗？我想这只是我先前问题的重新陈述。

Answer 1

单位是从C上的Identity functor到List的自然转换;通常，自然变换a：F =＆gt;两个平行函子F之间的G，G：X - > Y由

组成

1. 对于每个对象x：域的X，态射a_x：Fx - ＆gt; GX
2. 加上关于态射的F和G的行为的自然条件

你应该考虑如上所述的自然变换作为从F到“G”的方式。将其应用于你的单位列表情况，单位为每个类型X指定一个函数Unit_X：X - ＆gt;列出[X]，这只是用一个元素查看你的类型的实例作为List [X]实例。

我不明白你在b上究竟在问什么。但就c而言。他们是完全不同的东西。定义中没有从int到List [int]的映射;定义给出的是，对于每个地图f：X - ＆gt; Y，地图列表（f）：列表[X] - ＆gt;列表[Y]; Unit给你的是一种方式，可以将任何类型的X视为某些特定类型的X列表，即具有一个元素的列表。

希望它有所帮助;从您使用的List []表示法中，也许您来自Scala / Java背景，如果是这种情况，您可能会发现Scala中的类别理论介绍有趣：http://www.weiglewilczek.com/blog/?p=2760

Answer 2

嗯，令人困惑的是，Cat A和Cat B之间的仿函数F被定义为：

映射：

1. F映射A到F（A）---它是否意味着新的List（）？或者为什么不呢？
2. 和F映射F（f）：F（A） - > F（B）

这就是我在书中定义这些内容的方式。上面的点＃1（F映射A到F（A）） - 读取像我的态度，将A转换成F（A）。如果是这种情况，为什么我们需要单位自然变换，从A到F（A）？

非常奇怪的是，仿函数定义使用了单词map（但不使用单词morphism）。我看到A到F（A）不是一个态射，而是一个地图。