Question

我正在尝试使用scipy.integrate中的quad函数将具有奇点的函数集成在一起，但是我没有得到想要的答案。这是代码：

from scipy.integrate import quad
import numpy as np
def fun(x):
    return 1./(1-x**2)
quad(fun, -2, 2, points=[-1, 1])

这将导致IntegrationWarning，并返回有关0.4的值。

该功能的极点为[-1,1]。答案应约为1.09（使用笔和纸计算）。

Answer 1

选项weight='cauchy'可用于高效地计算像这样的发散积分的主值。这意味着提供给quad的函数将隐式乘以1/(x-wvar)，因此请相应地调整该函数（乘以x-wvar，其中wvar是奇点）。

i1 = quad(lambda x: -1./(x+1), 0, 2, weight='cauchy', wvar=1)[0]
i2 = quad(lambda x: -1./(x-1), -2, 0, weight='cauchy', wvar=-1)[0]
result = i1 + i2

结果为1.0986122886681091。

使用这样的简单功能，您还可以与SymPy进行符号集成：

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = integrate(1/(1-x**2), x)
result = (f.subs(x, 2) - f.subs(x, -2)).evalf()

结果：1.09861228866811。如果没有evalf()，它将是log(3)。

Answer 2

我也无法使其与原始功能一起使用。我想出了这个来评估scipy的主要价值：

def principal_value(func, a, b, poles, eps=10**(-6)):
    #edges
    res = quad(func,a,poles[0]-eps)[0]+quad(func,poles[-1]+eps,b)[0]
    #inner part
    for i in range(len(poles)-1):
        res += quad(func, poles[i]+eps, poles[i+1]-eps)[0]
    return res

其中func是函数句柄，a和b是极限，poles是极点列表，eps是您想要的距离接近两极。您可以使eps越来越小以获得更好的结果，但是也许sympy对于这样的问题会更好。

使用此功能和标准的eps，我得到1.0986112886023367的结果，这与wolframalpha给出的结果几乎相同。

python中具有奇点的数值积分（主值）

2 个答案: