Question

如果我有两个单独的多元普通随机变量：

from scipy.stats import multivariate_normal
import numpy as np

cov0=np.array([
    [1,0,0],
    [0,1,0],
    [0,0,1]
])
mean0 = np.array([1,1,1])
rv3d_0 = multivariate_normal(mean=mean0, cov=cov0)

cov1=np.array([
    [1,0,0],
    [0,1,0],
    [0,0,1]
])
mean1 = np.array([4,4,4])
rv3d_1 = multivariate_normal(mean=mean1, cov=cov1)

然后，我对创建介于这两者之间的新随机变量感兴趣：

mean_avg = (mean0+mean1)/2
cov_avg = (cov0+cov1)/2
rv3d_avg = multivariate_normal(mean=mean_avg, cov=cov_avg)

# I can then plot the points generated by:
rv3d_0.rvs(1000)
rv3d_1.rvs(1000)
rv3d_avg.rvs(1000)

但是，当查看生成的点时，可预测的协方差与两个分量相同。但是，我想让沿着矢量（mean1-mean0）的协方差比沿着正交矢量的协方差更大。我认为也许对协方差取平均值不是正确的技术？欢迎任何建议，谢谢！

Answer 1

这是一个有趣的问题。这样看：您对协方差分量有一些特定的方向，即均值1-均值0是一个方向，与均值1-均值0正交的平面包含其他方向。在这些方向上，您要指定变化的幅度，即在正交平面上是某种东西（比如说FOO），而在mean1-mean0方向上是很多（比如说100倍FOO）。

您可以通过Gram-Schmidt算法或其他方法找到正交平面的基础。此时，您可以构建协方差矩阵：令S =找到的方向的列（即mean1-均值加上正交平面的基数），让D =对角矩阵为100 FOO，FOO，FOO，。 ..，对角线上的FOO。现在，S D S ^ T（其中S ^ T是矩阵转置）是具有所需性质的正定矩阵。

您也许可以避免使用Gram-Schmidt，但是无论如何您的目标都是相同的：指定所需的属性，然后构造一个矩阵来满足它们。

Answer 2

我建议采用以下方法：

1- 从两个分布中抽取大量观察值（比如 10000 个）：obs0 和 obs1

2- 创建一个新的观察数组 obs_avg，它是 obs0 和 obs1 的总和除以 2

3- 对于得到的数组，计算均值和协方差。代码应如下所示：

import numpy as np
obs0 = np.random.normal(mean0, np.sqrt(cov0), 10000) #sampling from a normal distribution
obs1 = np.random.normal(mean1, np.sqrt(cov1), 10000)
obs_avg = (obs0 + obs1)/2
mean_avg = np.mean(obs_avg, axis=0)
cov_avg = np.cov(obs_avg.T)

这是一种生成平均分布的均值和协方差的实验方法，我认为如果您进行足够多的观察，它应该会给您非常准确的结果。

平均多元正态分布，沿向量扩展协方差

2 个答案: