Question

对不起，这是一个三部分的问题。我一直在努力获得第一部分，并且我认为如果我掌握了其余部分，那么我的运行时间就不太正确了。我知道有n次迭代，但是没有如何在不使用值j的情况下计算内部循环的迭代次数

请考虑以下基本问题。您得到的数组A由n个整数A [1]，A [2]，... A [n]组成。您想输出二维 n×n数组B，其中B [i，j]（对于i = j，因此这些值的输出无关紧要。）这是解决此问题的简单算法。

For i=1, 2,...,n
    For j=i+1, i+2, ... n
        Add up array entries A[i] through A[j]
        Store the result in B[i,]]
    Endfor
 Endfor

（a）对于应该选择的某些函数f，在大小为n的输入上，以该算法的运行时间为界，形式为O（f（n））。算法执行的操作）。

（b）对于相同的函数f，表明算法在大小为n的输入上的运行时间也为〜2（f（n））。（这显示了®（f（n））在运行时间上的渐近严格边界。）

（c）尽管您在（a）和（b）部分分析的算法最多解决问题的自然方法-毕竟，它只是遍历数组B的相关条目，为每个条目填充一个值-它包含了一些非常不必要的效率低下的原因。给出一种不同的算法来解决此问题，并以渐近地更好的运行时间。换句话说，您应该设计一个运行时间为O（g（n））的算法，其中limn-> infinity g（n）/ f（n）= O。

Answer 1

我将介绍第一部分。然后，对于您来说解决第二部分可能就足够清楚了。第三个问题是一个完全独立的问题（因此，如果需要帮助，也应单独发布）。

要分析运行时间，我们可以从内部开始，然后逐渐向外

Add up array entries A[i] through A[j]

假设您直接遍历条目，这将为您提供j - i + 1（抽象时间单位）的运行时间。确切的数目将取决于实现以及您对操作进行计数的方式。对于O(*)表示法，这没有什么区别。我将保留这些特定时间，并且不会将它们简化为一些O(*)表示法，因为您可能会需要（b）部分的特定时间。

Store the result in B[i,j]

运行时间为1。因此，内部循环中的部分的运行时间为j - i + 2。我将用T(j - i + 2)开始替换代码。因此，我们剩下的代码是：

For i=1, 2,...,n
    For j=i+1, i+2, ... n
        T(j - i + 2)
    Endfor
 Endfor

要找到内部循环的运行时间，我们需要求解给定范围内的总和：Sum (for j from i+1 to n) (j - i + 2)。这是带有解1/2 * (i - n - 5) * (i - n)的算术级数。现在的代码是：

For i=1, 2,...,n
    T(1/2 * (i - n - 5) * (i - n))
Endfor

再次求和就得出了1/6 * (n^3 + 6n^2 - 7n)的最终运行时间。而且此功能位于O(n^3)中。

Answer 2

由于A[i]与A[j]的总和为j - i + 1，因此f(n) = \sum_{i=1}^n\sum_j={i+1}^n (j-i+1) + 1的{{1}}是为1增值的。因此，通过B[i,j]和k = j - i + 1的变化变量。通过更改变量f(n) = \sum_{i=1}^n \sum_{k=0}^{n-i+1}k = \sum_{i=1}^n (n-i +1)(n - i + 2)/2，h = n-i。因此，f(n) = \sum_{h=1}^{n-i} (h + 1)(h + 2)/2。这表示算法为f(n) = n^3。

对于第三部分，您可以根据这一事实使用O(n^3)。这意味着您可以使用先前计算的总和来计算转发的总和。利用这个事实，您可以将B[i, j] = B[i, j-1] + A[j]更改为j - i + 1。这意味着1是g(n) = n^2的等轴线。

算法的运行时间

2 个答案: