Python中的Euler方法实现可产生稳定的结果，但应该不稳定

Question

我正在尝试使用Python3用Euler方法求解该微分方程：

根据沃尔夫拉姆·阿尔法（Wolfram Alpha），这是正确方程式的图。

同样，根据Wolfram Alpha的说法，在这种情况下，经典的Euler方法应该不稳定，如您可以在间隔结束时看到的那样：

但是，在我的实现中，Euler方法提供了稳定的结果，很奇怪。我不知道我的实现由于某种原因是错误的。但是，我找不到错误。

我生成了一些点，并比较了我的近似值和函数的分析输出。蓝色，为对照组的分析结果。以红色显示我的实现的输出：

那是我的代码：

import math
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import pylab

def f(x):

    return (math.e)**(-10*x)

def euler(x):

    y_init = 1
    x_init = 0

    old_dy_dx = -10*y_init

    old_y = y_init 

    new_y = None

    new_dy_dx = None

    delta_x = 0.001

    limite = 0

    while x>limite:

        #for i in range(1,6):

        new_y = delta_x*old_dy_dx + old_y
        #print ("new_y", new_y)

        new_dy_dx = -10*new_y
        #print ("new dy_dx", new_dy_dx)

        old_y = new_y
        #print ("old_y", old_y)

        old_dy_dx = new_dy_dx
        #print ("old delta y_delta x", old_dy_dx)
        #print ("iterada",i)

        limite = limite +delta_x

    return new_y

t = np.linspace(-1,5, 80)

lista_outputs = []

for i in t:
    lista_outputs.append(euler(i))
    print (i)

# red dashes, blue squares and green triangles
plt.plot(t, f(t), 'b-', label='Output resultado analítico')
plt.plot(t , lista_outputs, 'ro', label="Output resultado numérico")
plt.title('Comparação Euler/Analítico - tolerância: 0.3')
pylab.legend(loc='upper left')
plt.show()

感谢您的帮助。

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更新

在@SourabhBhat的帮助下，我能够看到我的实现实际上是正确的。确实，这引起了不稳定。除了增加步长之外，我还需要进行一些放大才能看到它的发生。

下面的图片说明了一切（步长为0.22）：

Answer 1

根据时间步长，欧拉积分可以是稳定的或不稳定的，因为它是一种显式方法。您选择了一个很小的时间步。如果增加它，您将开始看到振荡，如下图所示。

这是我编写的一个小型测试程序（尝试慢慢增加steps变量[20,30,40,50 ....]）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

steps = 20


def exact_solution(t):
    return np.exp(-10.0 * t)


def numerical_solution(y0, dt, num_steps):
    y = np.zeros(num_steps + 1)
    y[0] = y0
    for step in range(num_steps):
        y[step + 1] = y[step] - 10.0 * y[step] * dt

    return y


if __name__ == "__main__":
    t0 = 0
    time = np.linspace(t0, 5, steps + 1)
    num_sol = numerical_solution(exact_solution(t0), time[1] - time[0], steps)
    exact_sol = exact_solution(time)

    plt.plot(time, num_sol, ".--", label="numerical")
    plt.plot(time, exact_sol, label="exact")
    plt.legend(loc="best")
    plt.show()