重写表达式以减轻数值抵消

Question

我最近回答了this question，其中要求OP寻找一种更好的方法来评估以下表达式

表达式的 x→0 的限制为1/6，并且从 n = 12开始有一个舍入误差，对于 n来说，舍入误差变得更大 = 13。

我挠了一下头，但是我无法提出一种更好的方法来评估以前的表达式。使用二项式近似值 ¹ 太好了，因为它对每个 x 值给出正好1/6！有人吗？

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1：（9+ x ）^ 0.5-3 = 3 *（1+ x / 9）^ 0.5-3≈3 *（1+ x / 18）-3 = 3+ x / 6-3→（9+ x ）^ 0.5-3 / x ≈1/6

Answer 1

商的分子和分母乘以sqrt(9+x)+3并简化。然后您的功能变为

f(x) = 1/(sqrt(9+x)+3)

不会受到取消的影响，小x的上限为1/6。

虽然此转换是精确的，但如果使用泰勒展开式的下一个阶数，则可以获得稍微简单但有限的近似值

f(x) ~ 1/6 - 1/216 *x

x = 1e-4的相对误差为0.1543203441e-10。