递归函数，用于查找组合而不会达到python中的内置限制

Question

我整理了一个函数，可以使用递归查找组合，而不会达到python中的内置限制。例如，您可以计算：选择（1000，500）。 这就是现在的样子：

def choose(n, k):
    if not k: 
    return 1 .
elif n < k: 
    return 0
else:
    return ((n + 1 - k) / k) * choose(n, k - 1)

它完全按照我希望的方式工作。如果k为0，则返回1，如果n小于k，则返回0（这是根据我在维基百科上找到的数学定义）。但是，问题是我不太了解最后一行（当我浏览网络时找到了它）。此刻我正在使用的最后一行之前，这是我在函数中拥有的最后一行：

return choose(n-1,k-1) + choose(n-1, k) 

我也在Wikipedia上找到了（尽管我也不是100％理解）。但是由于python中的内置限制，它总是会导致错误，而我正在使用的新行不会导致这种错误。我知道新行在程序中的工作效率更高，因为例如，我们不将其拆分为两个子问题。

再说一遍..我要问的是，是否有任何一种灵魂可以（以一种可以理解的方式）解释这一行代码在函数中的工作方式：

return ((n + 1 - k) / k) * choose(n, k - 1)

Answer 1

您首先需要知道如何定义组合C（n，k）。 C（n，k）的公式为：

或等效地：

可以重新构造为递归表达式：

这是您实现的。

对于第二种实现，这是Pascal's formula。递归实现将非常慢（并且可能会堆栈溢出，是的）。一种更有效的实现方式是将每个C（n，k）存储在二维数组中，以便按顺序计算每个值。

Answer 2

剧透：最重要的是您应该使用封闭格式n! / (k! (n - k)!)。

在许多其他语言中，解决方案是使函数tail-recursive，尽管Python不支持这种优化。因此，实施递归解决方案根本不是最佳选择。

您可以使用sys.setrecursionlimit来增加最大递归深度，但这并不是最佳选择。

一种改进是通过迭代计算 n-choose-k 。

def choose(n, k):
    if n < k:
        return 0

    ans = 1
    while k > 0:
        ans *= (n + 1 - k) / k
        k -= 1

    return ans

尽管如此，由于浮点运算，以上内容会累积一个错误。因此，最好的方法是使用 n-choose-k 的封闭形式。

from math import factorial

def choose(n, k):
    return factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n - k))