Question

我目前正在使用Java数学库，该库将包含各种正确舍入的函数（即sqrt，cbrt，exp，sin，gamma和ln）。我已经使用巴比伦方法编写了平方根算法，该算法在正确答案的1 ulp之内正确。但是，我无法弄清楚如何正确计算应该四舍五入的数字，以代表与输入的实际平方根的最佳近似值。包含可以扩展到其他功能的原理的答案将是首选，但是我听说sqrt比许多先验功能更简单，并且专业解决方案也将不胜感激。

此外，这是该问题的原始提交内容的代码清理版本：

public static double sqrt(double x) {
    long bits = Double.doubleToLongBits(x);

    // NaN and non-zero negatives:
    if (Double.isNaN(x) || x < 0) return Double.NaN;

    // +-0 and 1:
    if (x == 0d || x == 1d) return x;

    // Halving the exponent to come up with a good initial guess:
    long exp = bits << 1;
    exp = (exp - 0x7fe0000000000000L >> 1) + 0x7fe0000000000000L >>> 1 & 0x7ff0000000000000L;
    double guess = Double.longBitsToDouble(bits & 0x800fffffffffffffL | exp);
    double nextUp, nextDown, guessSq, nextUpSq, nextDownSq;

    // Main loop:
    while (true) {
        guessSq = guess * guess;
        if (guessSq == x) return guess;
        nextUp = Math.nextUp(guess);
        nextUpSq = nextUp * nextUp;
        if (nextUpSq == x) return nextUp;
        if (guessSq < x && x < nextUpSq) {
            double z = x / nextUp;
            if (z * nextUp > x) z = Math.nextDown(z);
            return z < nextUp ? nextUp : guess;
        }
        nextDown = Math.nextDown(guess);
        nextDownSq = nextDown * nextDown;
        if (nextDownSq == x) return nextDown;
        if (nextDownSq < x && x < guessSq) {
            double z = x / guess;
            if (z * guess > x) z = Math.nextDown(z);
            return z < guess ? guess : nextDown;
        }

        // Babylonian method:
        guess = 0.5 * (guess + x / guess);
    }
}

如您所见，我正在使用除法进行测试。但是，我认为这要求将除数舍入为0，这在Java中显然不会发生。

Answer 1

根据泰勒定理，平方根函数由线性函数局部近似，斜率为1 /2√x，为正。因此，您可以将误差与平方x-（√x）²中的误差相关，其中√x被理解为近似根。然后您朝着使该错误最小化的方向四舍五入。

无论如何，x-（√x）²的计算受到灾难性的抵消，您可能需要扩展的精度才能可靠地进行计算。不确定是否值得付出努力。

如何正确舍入平方根函数？

1 个答案: