检查两个向量是否平行的最有效方法

Question

给定两个向量u=(ux,uy,uz)和v=(vx,vy,vz),，假定向量是并行的或近（给定一些近似值），那么检查它们的计算上最便宜的方法是什么没有规范化？

关于几乎平行：例如，我们假设一个阈值一直到小数点后第一位，例如，如果它们的叉积为0.01，则可以安全地假定它们是平行的。我们可以类似地放宽我们可能要使用的其他方法的条件。

如果首选使用编程语言来回答问题，让我们假设我们想使用c ++来实现。

• 计算它们之间的角度是昂贵的，因为它需要使用反三角函数。
• 计算他们的叉积可能是一种方法，但不确定是否是最有效的方法。
• 将它们归一化并验证其标量乘积是否为1。

Answer 1

简短答案： 从理论上讲，这根本没有关系。实际上：对其进行测量

长答案：

同意三角函数反函数是不可能的，让我们比较计算最后两个选项的最有效方法。

计算他们的叉积

由于允许向量几乎平行，因此需要计算

crossx := uy * vz + uz * vy;
crossy := ...;
crossz := ...;
crossNorm = crossx * crossx + crossy * crossy + crossz * crossz;

涉及9个乘法和5个加法。如果向量（几乎）平行，则crossNorm应该（几乎）为零。

但是，正如Baum mit Augen正确指出的那样，检查crossx，crossy和crossz几乎为零就足够了，将其减少为6个乘法和3个加法，但最多要进行两次比较。哪种方法更有效，取决于您的语言细节和“几乎”相等的定义-例如如果近似等于fabs(...) < 1E-6，那么只需要做一次就值得。

计算标量积

标量积是

scalar = ux * vx + uy * vy + uz * vz;

如果矢量（几乎）平行，则

scalar * scalar

（几乎）应该等于

(ux * ux + uy * uy + uz * uz) * (vx * vx + vy * vy + vz * vz).

这可以归结为10个乘法和6个加法。

对它们进行归一化并验证其标量积是否为一。

这只是以上计算，但有两个额外的double除法。这并没有增加任何价值，实际上它可能会引入舍入问题。

结论

两个选项的两次重复操作次数几乎相同。如果您真的想知道，可以比较程序集https://godbolt.org/z/nJ9CXl，但对于所有实际目的而言，差异将很小。实际上，如果仅计算“昂贵”指令（mulsd，addsd，subsd）和比较（ucomisd），则两个选项都有五个。但是，再次提醒您，如果您必须准确地了解 ，

Answer 2

我认为这是错误的

标量= l1 * l2 * cos（r）= ux * vx + uy * vy + uz * vz 标量^ 2 =（l1 * l2 * cos（r））^ 2 =（ux * vx + uy * vy + uz * vz）^ 2

（l1 * l2）^ 2 =（ux * ux + uy * uy + uz * uz）*（vx * vx + vy * vy + vz * vz） 所以 cos（x）^ 2 =标量^ 2 /（ux * ux + uy * uy + uz * uz）*（vx * vx + vy * vy + vz * vz）= （ux * vx + uy * vy + uz * vz）^ 2 /（ux * ux + uy * uy + uz * uz）*（vx * vx + vy * vy + vz * vz）

x在cos为1或-1时接近0或180，因此cos（x）^ 2-> 1

何时

formila接近1

（ux * vx + uy * vy + uz * vz）^ 2 /（ux * ux + uy * uy + uz * uz）*（vx * vx + vy * vy + vz * vz） 这意味着向量是平行的