运行Johnson算法后回溯

Question

我有一个问题，在我过去的学校考试中被问到了，但找不到答案。

  

在图形上运行Johnson Algorithm之后，是否可以知道最终矩阵，从而知道它先前是否具有负循环？为什么？

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Johnson算法

Johnson算法是一种能够计算图上最短路径的技术。只要不存在负权重的循环，它就可以处理边缘的负权重。

该算法包括（来自Wikipedia）：

• 首先，将新节点q添加到图中，并通过零权重边将其连接到其他每个节点。
第二，从新顶点q开始，使用 Bellman–Ford 算法，为每个顶点v查找最小权重h(v)从q到v的路径。如果此步骤检测到负周期，则算法终止。
• 接下来，使用 Bellman–Ford 算法计算的值对原始图的边缘进行加权：从u到v的边缘，长度为{{1 }}，并赋予新的长度w(u, v)。
• 最后，w(u,v) + h(u) − h(v)被删除，并且使用 Dijkstra的算法来查找从每个节点q到重加权图中每个其他顶点的最短路径。

Answer 1

如果我正确理解了您的问题，应该是这样的：

  

在图上运行Johnson算法后，是否可能知道最终的成对距离矩阵，以了解其最初是否具有负权重边缘？为什么？

正如其他人在此处评论的那样，我们必须首先假定图形没有负权重循环，因为否则Johnson Johnson算法将停止并返回False（由于对负权重循环进行了内部Bellman-Form检测）。

然后的答案是，如果图形中存在负负边e =（u，v），则u之间的最短加权距离-> v不能> 0（因为在最坏的情况下，您可以这些顶点之间的负边e）。

因此，如果最终成对距离中的任何值<0，则至少有一条边在原始图中具有负权重

Answer 2

如果该问题应解释为：

  

在图上运行Johnson算法后，是否有可能知道更新的非负边缘权重，从而知道它最初是否具有任何负权重边缘或不？为什么？

那不，你不知道。

在仅具有非负边缘权重的图形上运行Johnson算法将使权重保持不变。这是因为所有最短距离q -> v都将为0。因此，考虑到运行Johnson之后的边缘权重，初始权重可能完全相同。