假设我有一个类别$ C $和一个态射$ f：这个类别中的a \ rightarrow b $。假设诱导映射$ f ^ {\ ast}：Hom_ {C}（a，a）\ rightarrow Hom_ {C}（b，a）$诱导集合的双射。确实存在态射$ g：b \ rightarrow a $使得$ g \ circ f = id_ {a} $吗？
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首先，我认为您有一个错误，Hom（b，a）应该是Hom（a，b）。
如果这是您的意思，那么答案是否定的。
举一个简单的例子，以包含两个对象a,b和一个非身份箭头f : a -> b的类别为例。然后Hom(a,a) = {id_a}和Hom(a,b) = {f}和f实际上通过构图g |-> f o g引起了双射。
这与拓扑中的一些基本事实相似，例如，并非每个排斥连续函数都具有连续逆。
但是，如果您要求f不仅给出Hom(a,a) -> Hom(a,b)上的双射，而且还给出每个 Hom(c,a) -> Hom(c,b)上的双射，c ，自然地，由于Yoneda引理和自然变换具有自然逆的事实（如果其每个分量都具有逆的事实），您确实得到了逆态射态。