Question

给出以下伪代码，问题是变量 m 平均要更新多少次。

A[1...n]: array with n random elements 
m = a[1]
for I = 2 to n do
   if a[I] < m then m = a[I]
end for

一个答案可能是，由于所有元素都是随机的，因此该变量将平均以for循环的迭代次数的一半加上初始化的次数进行更新。

但是，我怀疑必须有一种更好的（也许是唯一正确的）方式来使用二项式分布来证明它， p = 1/2 。这样， m 上的平均更新次数将为

M = 1 + Σi=1 to n-1[k.C_n,k.p^k.(1-p)^(n-k)]

其中 C _n，k 是二项式系数。我已经尝试解决此问题，但是由于不知道如何继续，因此我坚持了一些步骤。

有人可以解释两个答案中哪个是正确的，如果是第二个，请教我如何计算 M ？

谢谢您的时间

Answer 1

假设数组的元素是不同的，则m的预期更新次数为第n harmonic number，H _n，这是k的1 / k之和，范围是1到n。

求和公式也可以由递归表示：

H₁ = 1
H_n = H_n−1+1/n (n > 1)

很容易看出递归与问题相对应。

考虑n-1个数字的所有排列，并假定期望的分配数为H _n-1。现在，n个数字的每个排列都包含n-1个数字的排列，在n-1个现有值之一的开头或之后，在n个可能的插入点之一中插入了一个新的最小数字。由于它比现有序列中的每个数字都小，因此仅在将其插入开头的情况下才将其分配给m。那的概率为1 / n，因此n个数字的排列的预期分配数量为H _n-1 + 1 / n。

由于长度为1的向量的预期赋值数量显然为1，即H ₁，因此我们可以归纳证明递归。

H _n渐近等于ln n +γ，其中γ为the Euler-Mascheroni constant，约为0.577。因此它没有限制地增加，但是非常缓慢。

m为其更新的值称为从左到右的最大值，通过搜索该术语，您可能会找到有关它们的更多信息。

Answer 2

我喜欢@rici的答案，所以我决定进一步阐述其中心论点，以使我更清楚。

让H[k]为计算长度为m的数组的最小k所需的预期分配数量，如所考虑的算法所示。我们知道

H[1] = 1.

现在假设我们有一个长度为n > 1的数组。最小值可以位于数组的最后一个位置，也可以不在数组的最后一个位置。它以概率1/n位于最后一个位置。它不是1 - 1/n的概率。在第一种情况下，预期的分配数量为H[n-1] + 1。在第二个中，H[n-1]。

如果我们将每种情况的预期任务分配数乘以其概率和总和，便得出

H[n] = (H[n-1] + 1)*1/n + H[n-1]*(1 - 1/n)
     = H[n-1]*1/n + 1/n + H[n-1] - H[n-1]*1/n
     = 1/n + H[n-1]

显示递归。

请注意，如果最小值位于最后一个位置或位于第一个n-1中，而不是位于两个位置，则该参数有效。因此，我们使用数组的所有元素都是不同的。

变量m被更新了多少次

2 个答案: