Question

我正在尝试解决this problem。问题可以概括为：给定整数序列，则找不到安全分区，其中安全分区定义为：

安全分区是划分为子序列S1,S2,…,SK的分区，这样对于每个有效的i，min(Si)≤|Si|≤max(Si)-即，对于该分区中的每个子序列，其长度都大于或等于它的最小元素，小于或等于其最大元素。例如：

Input => 1 6 2 3 4 3 4
Output => 6 partitions

[1],[6,2,3,4,3,4]
[1,6,2],[3,4,3,4]
[1,6,2,3],[4,3,4]
[1],[6,2],[3,4,3,4]
[1],[6,2,3],[4,3,4]
[1,6],[2,3],[4,3,4]

我可能可以在Internet上的某个地方找到包含代码的解决方案，但是我更着迷于寻找解决此问题的方法，所以我在这里问我观察中缺少哪些要点。

这些是我读到此问题时想到的事情：

如果索引为i的元素安全地扩展了序列，也可能是新序列的开始。每个元素i都有两个选择是否扩展是否排序。

所以我认为它可以用数学表示为

p(0..N)=1+P(i..N)+P(i+1..N),if A[i] is safe to extend current partition
p(0..N)=1+ p(i..N), if A[i] can't be used to extend

其中P是分区函数。这个推理有效吗？我想念什么吗？

Answer 1

[我很难在没有给出解决方案的情况下给出方向，因为一旦一个人朝着正确的方向思考，那么解决方案就变得显而易见。我将着重强调一些可能使一个人走上正轨的事实。]

明确枚举安全分区是有问题的，因为存在O（2 ⁿ）个安全分区。例如：

1,N,1,N,1,N ... [N elements]

对于此序列，在任何长度> 1的子序列上，且子序列[1]均符合条件。这种长度为n = 2k的序列的安全分区数为3 ^k-1。为了证明这一点，请查看以下

基本k = 1：f（1）= f（2）= 1

步骤假设：f（2k）= 3 ^k-1。

f（2k + 1）=
f（2k + 2）=（f（2k）+ f（2k-1））+（f（2k-2）+ f（2k-3））+ ... + f（1）+1
        = 2 *（f（2k）+ f（2k-2）+ .. + f（2））+ 1
        = 2 *（3 ^k-1 + 3 ^k-2 + ... + 1）+ 1
        = 2 *（3 ^k-1）/ 2 + 1
        = 3 ^k

由于不可能进行枚举，因此对于任何合理的性能，解决方案都必须以某种方式计数而不进行迭代。由于1，N，...，1，N具有3 ^k-1的证明不必明确列举所有序列，因此其原理可以推广到任何序列。

注意：

我以前已经解决过类似的问题，所以对我来说方向很明确。对于这个问题，我试图将我的想法分解为易于管理的想法，并提出了关于复杂性的想法。我非常强烈地感觉到，即使在写下并尝试证明它之前，它都是指数级的。这来自经验和其他问题。复杂度函数比Fibbonacci差，因为向序列中添加元素似乎要添加至少两个较小大小的元素（类似于Fibbonacci序列）。由于Fibbonacci是指数的，因此1，...，1分区必须是指数的。从那里继续并用递归关系对其进行了分析。

我到达解决方案的确切方式与我的想法相符。每个人都有适合他们的不同思维方式，他们需要发展并找到它。

这就是我怀疑tge示例中的安全序列数为3 ^k-1的原因：

我以基本条件f（1）= f（2）= 1递归计算f（2k）。然后是3：

[1,N,1]
[1],[N,1]
[1,N],[1]

对于4：

[1,N,1,N]
[1],[N,1,N]
[1,N],[1,N]

意思是f（3）= f（4）= 3。然后我递归应用

f（2k + 2）= 2 *（f（2k）+ f（2k-2）+ .. + f（2））+1

导致f（2）= 1，f（4）= 3，f（6）= 9，f（8）= 27。看起来像是3 ^k-1。然后我只需要通过归纳证明。

基于某些条件的安全阵列分区

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