Question

有两个变量：a和b。 a的初始值为1，b为0。有两个按钮：红色和蓝色。红色按钮将b的值添加到a，蓝色按钮将a的值添加到b。

red : a = a+b 
blue: b = b+a

现在的问题是，如果在a上可以得到整数X，在b上可以得到Y。

例如，给您X = 7, Y=9.

您从a = 1，b = 0开始。蓝色按钮两次将使b 0+1+1=2，而a保持不变。然后红色按钮可以按下3次，1+2+2+2=7。因此，a=7，b=2，然后蓝色按钮可以使b 2+7=9。最后，a=7和b=9。

我如何计算使用这两个按钮获得X和Y的可能性？该算法必须适用于较大的数字（> 1000）

您不必知道按钮的路径即可获取数字，而只需了解各种可能性。

Answer 1

如果(X, Y)为正，一对X是可能的，并且X和Y的最大公约数为1。这相对容易证明：

首先请注意，如果可以使用X,Y，则gcd必须为1。   否则，请考虑gcd不等于的最小X,Y   1. X和Y都不能为0。但是最小的X,Y必须来自可能的X-Y,Y或X,Y-X，但是   两者的gcd与X,Y相同，并且都较小，这与我们的假设相矛盾   极简。

第二，假设X,Y的gcd等于1（0,1除外   这是唯一无法与gcd=1和X=0配对的货币对。   考虑最小的X,Y。再说一遍，这一定是来自   X-Y,Y或X,Y-X都拥有gcd=1，然后我们又有了一个   极小假设的矛盾。

因此，我们证明了0,1除外，如果且仅当gcd(X,Y)=1   X,Y是否可达。

然后可以使用标准的gcd算法来计算答案：

def gcd(a, b):
    while b > 0:
        a, b = b, a % b
    return a

def solvxy(X, Y):
    return X>0 and gcd(X, Y)==1

Answer 2

您可以从X，Y值展开（可能）解。

从较大的值中减去较小的值。

在平局的情况下：对于（1,1），存在解，对于较大的值-不。

如果达到（1，0）值-解决方案确实存在

X   Y    Sub    
7   9     x 
7   2     y
5   2     y
3   1     y
1   1     both x and y
for x:
1   0    !!! solution found

递归Python函数：

def solxy(aa, bb):
    if (aa < 1):
        return False
    if (bb == 0):
        return (aa == 1)
    if (aa == bb):
        return (aa == 1)
    elif (bb > aa):
        return solxy(aa, bb - aa)
    else:
        return solxy(aa - bb, bb)

print(solxy(7,9))
print(solxy(9,7))
print(solxy(3,3))
print(solxy(3,0))
print(solxy(0,3))
print(solxy(1,0))

True
True
False
False
False
True

修改：
迭代解决方案（使用@squeamish ossifrage提出的模运算）：

def solxyit(aa, bb):
    while (aa > 1) and (bb > 1):
        if (bb > aa):
            bb %= aa
        else:
            aa %= bb
    return (aa == 1) or ((bb==1) and (aa>1))

Answer 3

def two_digits(a, b):
    INIT_A = 1
    INIT_B = 0

    assert ( (type(a) == int or type(a) == long) and (type(b) == int or type(b) == long) )

    #print a, b

    if a == INIT_A and b == INIT_B:
        return True
    if a < INIT_A or b < INIT_B:
        return False

    if a == INIT_A:
        times = (b - INIT_B) / INIT_A;

        #print times, " press b"
        return (times * INIT_A + INIT_B == b)
    elif b == INIT_B:
        return False           #cause a > INIT_A, and INIT_B is 0, thus can't reach(a, INIT_B)
    else:
        if a > b:
            times = (a - INIT_A) / b
            return two_digits(a - times * b, b)
        elif a < b:
            times = (b - INIT_B) / a
            return two_digits(a, b - a * times)
        else:
            return two_digits(0, b) or two_digits(a, 0)

print two_digits(7, 9)
print two_digits(5000, 5003)

计算两位数的可能性

3 个答案: