子集参数

Question

我有一个参数设置：

Parameter Q:Set.

现在我想定义另一个作为Q子集的参数。例如：

Parameter F: subset Q.

我如何定义？我想我可以稍后将限制添加为公理，但直接用F的类型表达它似乎更自然。

Answer 1

你无法直接表达。

将Set中的对象视为数学集是错误的。 Set是一种数据类型，与编程语言中的类型相同（除了Coq的类型非常强大）。

Coq没有子类型¹。如果两种类型F和Q不同，那么就数学模型而言，它们是不相交的。

通常的方法是将F声明为完全相关的集合，并声明从F到Q的规范注入。除了显而易见之外，您还需要指定该注入的任何有趣属性。

Parameter Q : Set.
Parameter F : Set.
Parameter inj_F_Q : F -> Q.
Axiom inj_F_Q_inj : forall x y : F, inj_F_Q x = inj_F_Q y -> x = y.
Coercion inj_F_Q : F >-> Q.

最后一行宣布了从F到Q的强制行为。这允许您在上下文需要类型F的任何位置放置Q类型的对象。类型推理引擎将插入对inj_F_Q的调用。你需要偶尔明确写出强制，因为类型推理引擎虽然非常好，但并不完美（完美在数学上是不可能的）。 Coq参考手册中有一章有关强制的内容;你应该至少浏览它。

另一种方法是使用扩展属性定义子集，即在集合（类型）P上声明谓词Q并从F定义P。

Parameter Q : Set.
Parameter P : Q -> Prop.
Definition G := sig P.
Definition inj_G_Q : G -> Q := @proj1_sig Q P.
Coercion inj_G_Q : G >-> Q.

sig是规范，即弱和类型，即由对象和所述对象具有某种属性的证据组成的对。 sig P等效于{x | P x}（即语法糖sig (fun x => P x)）。你必须决定你喜欢短形式还是长形式（你需要保持一致）。使用弱金额时，Program白话通常很有用。

¹ _{模块语言中有子类型，但这与此无关。并且强制假冒了很多用途的子类型，但它们并不是真实的东西。}