两个凸包之间的最小距离已最大化

Question

我想实现一个程序，将平面中n个点的集合S分为两个集合，以使两个集合的凸包的距离最大化。

应该在O（n ^ 3）中完成。

我有几个想法，但不确定它们是否正确：
 1.想法：我将点按X排序，然后对每两个点求出距离，但前提是它们之间没有其他点。然后，我选择最左边的第一个点和最右边的第二个点（第一个点是第一个多边形的一部分，第二个是第二个多边形的一部分）。然后我找到点与线之间，线与线之间，线与点之间以及与点与点之间的距离（但是我已经知道了）。这就是我找到最大距离的方法，然后通过Graham扫描创建凸包。 我对Y重复所有操作，因为最大距离可能在Y上，而不是X上。
 2.想法：我按X对点进行排序，然后为前3个创建凸包，并为其他点创建另一个凸包。然后找到这两个船体之间的最小距离。我保存距离，如果该距离大于在覆盖并记住多边形之前保存的距离。最后一步是第二个凸包仅剩3个点。然后，我对Y执行所有这些步骤。

你们如何看待我的想法？您是否有任何改进或其他更好的主意？

Answer 1

如果您很聪明，可以使用分隔轴定理

O（N ^ 3）。首先查看此内容：https://gamedevelopment.tutsplus.com/tutorials/collision-detection-using-the-separating-axis-theorem--gamedev-169

现在，如果两个凸包之间的距离为 x ，则存在一个轴，这些包中的点沿该轴以 x 隔开。相反，如果沿任意轴的点的投影之间存在 x 间隙，则该间隙两侧的点的凸包将至少间隔 x < / strong>。

因此，如果您发现点之间的间隙最大的轴，则该间隙两侧的点组将在其凸包之间具有最大的距离。

好消息是，只有 O（N ^ 2）个可能的最佳轴。两个凸包之间的距离将是包中两个点（角）之间的距离，或者是一个点与另一条线之间的距离。在第一种情况下，相应的分隔轴将沿着任一壳体中两点之间的直线。在第二种情况下，分离轴将垂直于一个船体中的直线。无论哪种方式，轴都垂直或平行于两点之间的线，并且只有 O（N ^ 2）个方向。

因此，您可以尝试所有可能的方向，对每个轴上的点进行排序，并找出它们之间的最大间隙。总时间是... O（N ^ 3 * log N）。

为了将其降低到 O（N ^ 2），您必须将每个轴的排序降低到 O（N）。事实证明，这实际上没有问题。如果沿坡度顺序浏览所有可能的轴方向，则沿途看到的反转总数（成对的点改变顺序）为 O（N ^ 2）。如果使用插入排序对每个轴重新求点，那么它将进行的总移动量与它进行的反转次数成正比。总共是 O（N ^ 2）。将其与每个方向的线性扫描部分相加即可得出 O（N ^ 3）的总功。