两个数字的gcd其中之一太大

Question

我正在研究一个问题，要求计算gcd（ab，a ^ n + b ^ n）％（10 ^ 9 + 7），其中a，b，n可能高达10 ^ 12。

我能够用很小的数字解决a，b和n的问题，费马定理也似乎不起作用，我得出的结论是，如果a，b是互素的，那么这总是给我gcd作为2，但其余的我都无法获得？

我只需要一点提示，就是我做错了什么才能获取大量的gcd？我还尝试过x ^ y通过在每一步取模来找到gcd，但这还是行不通的。

需要正确的方向，我会努力的。

谢谢。

Answer 1

您是正确的，a^n + b^n太大，无法计算，并且工作模数10 ^ 9 + 7的每一步都没有提供计算答案的方法。但是，您仍然可以通过对不同模（即a-b

进行平方运算来使用模幂运算）

主要观察结果

：

1) gcd(a-b,a^n + b^n) = gcd(d,a^n + b^n) where d = abs(a-b)
2) gcd(d,a^n + b^n) = gcd(d,r) where r = (a^n + b^n) % d
3) r can be feasibly computed with modular exponentiation by squaring

1）的要点是，不同的编程语言在mod运算符中处理负数的约定不同。取绝对值可避免此类复杂情况，尽管在数学上并没有什么区别。关键思想是，进行计算gcd的欧几里得算法的第一步是完全可行的。您所需要做的就是将两个数字中较大的部分除以较小的部分。第一步完成后，所有数字都在可行范围内。