Question

如果给我一个序列X = {x1,x2,....xm}，那么我将有(2^m)个子序列。任何人都可以解释我如何直观地得出这个公式？我可以从3个元素开始，然后是4个然后是5个并且达到这个公式，但我认为我不理解。 '2'来自哪里？我不是在这里分成两半或任何东西。谢谢你的帮助。

Answer 1

首先，您所谈论的内容称为设置。第二，正确的是，可以从集合中生成的不同子集的数量等于2 ^ m，其中m是该集合中的元素的数量。如果我们以3个元素为例，我们可以得出这个结果：

S = {a, b, c}

现在要生成每个子集，我们可以使用二进制数字来模拟元素的存在：

xxx where x is either 0 or 1

现在让我们列举所有可能性：

000 // empty sub-set
001
010
011
100
101
110
111 // the original set it self!

以011为例。第一个数字为0，然后a不在此子集中，但b和c确实存在，因为它们各自的二进制数字是1。现在，给定 m （例如上例中的3个）二进制数字，可以生成多少个二进制数（子集）？你现在应该回答这个问题;）

Answer 2

对于实际上正在寻找子字符串的任何人（因为标题或网址可能会让您相信）：

Subset: 2^n (Order doesn't matter in sets)
Subsequence: 2^n (Since we keep the original ordering, this is the same.)
Substring: n(n+1) * 1/2 (Elements must be consecutive)

Answer 3

值x_i可以在子序列中，也可以不在子序列中。这有点像。有2^m组合用于打开/关闭序列中的m数字。

Answer 4

2来自哪里？每次添加一个元素时，你都会增加两倍的可能性。

Answer 5

对于任何序列X = {x1，x2，.... xm}，将有（2 ^ m）个子序列，因为你可以“选择”长度为0,1,2的子序列。 ..，m，即数学上是

“C（m，0）+ C（m，1）+ ... C（m，m）”，这导致2 ^ m。

例如，比如说字符串是“abc”，那么

C（3,0）= 1，“”

C（3,1）= 3，“a”，“b”，“c”

C（3,2）= 3，“ab”，“bc”，“ac”

C（3,3）= 1，“abc”

子序列的数量是8，即2 ^ 3。

有关详细信息，请访问http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient#Series_involving_binomial_coefficients

Answer 6

对于长度为m的序列中的每个元素，您可以选择它或保留它。因此，有两种方法可以处理每个元素。因此，总数没有。处理所有m元素的方法是2*2*2...... m次= 2^m次。

Answer 7

通过在选择或不选择m个元素中的每一个之间进行选择来定义每个子序列。由于有m个元素，每个元素都有两种可能的状态，因此可以获得2 ^ m的可能性。

Answer 8

如果你有一个序列S，当你在S的末尾添加一个新的元素x时会发生什么？

S的所有子序列仍然是新序列的子序列。所有那些最后添加了x的子序列也是如此。

瞧！每次添加元素时，都会使子序列的数量加倍。

Answer 9

每个元素都在子序列中或者不在子序列中。因此，从第一个x1开始，有两组子集：包含x1的子集和不包含x1的子集。对于较小的子问题{x2，...，xm}，可以做同样的事情。因此，你最终得到2 ^ m。

Answer 10

基本上，每个新数字的后续序列会有两倍，因为你将有(2^(m-1))个“等效”子序列向右移一个空格（假设水平排序并在右边添加）加上子序列所有元素。

Answer 11

我最近开始算法课程。

我想更直观的思考答案的方法是想一个例子。

例如，我们有A =（1,2,3）那我们可能有 0那是1路 1,2或3的3种方式（1,2），（1,3），（2,3）也是3种方式和（1,2,3）==再一次

总子序列为2 ^ 3或8。所以通用公式是 MC0 + MC1 + MC2，MC3 + ...... MCM

如果我错了，请纠正我。几分钟前我遇到了这个问题，这就是我对直观公式的看法。

Answer 12

为了扩展已接受的答案，可以用数学术语来考虑子序列的数量。我们来看一个字符串的例子：'ABC'。

字符串'ABC'的子序列数：

=> C(3, 0) + C(3, 1) + C(3, 2) + C(3, 3) = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 (2^3).

（注意：C（m，n）代表大小为'm'的字符串'n'的子序列数

可以通过列出所有内容轻松验证：

C(3, 0) = '', // Taking 0 letters at a time out of the given string.
C(3, 1) = 'A', 'B', 'C', // Taking 1 letter at a time.
C(3, 2) = 'AB', 'AC', 'BC', // Taking 2 letters at a time.
C(3, 3) = 'ABC'. // Taking 3 letters at a time.
(Total count = 8)

我们为子序列保持字母序列相同，因此，组合而不是置换。

注：二项式系数之和，使用二项式定理= 2 ^ n。证明如下：

From Binomial theorem,
(x + y)^n = C(n, 0) x^n y^0 + .... + C(n, n) x^0 y^n

Using x = 1, y = 1,
(1+1)^n = C(n, 0) 1^n 1^0 + .... + C(n, n) 1^0 1^n 
=> 2^n = C(n,0) + C(n,1) + .... + C(n,n)

这就是'2'来自二项式定理的地方。

Answer 13

每次遇到一个字符时，要么将其包含在子序列中，要么不将其包含在结果中，这意味着如果您将字符串视为树的根，那么它将有两个子序列，一个是子序列包括当前没有的字符，这使它成为二叉树。平衡二叉树中的节点数是 n^m，其中 n 是分支因子，m 是树的高度，我们知道分支因子是 2，高度是字符串中的字符数，因此它是 2^米。

给定序列中的子序列数

13 个答案: