最小定点，最大定点

Question

在诸如Haskell之类的惰性非全部语言中，最小定点与最大定点如何重合。完整的部分订单的连续性与这有什么关系？

Answer 1

在CPO（我们将类型解释为类型）中，任何递增的链都有一个最小的上限。

这是一个示例，该示例应传达直觉，为什么在CPO领域中，最小固定点和最大固定点重合。考虑以下函子，为简洁起见，滥用了列表符号：

data ListF a x = [] | a : x

其最大的固定点是Haskell列表的类型（可能是无限的，可能是部分的）。最低固定点呢？其中必须包含以下元素（省略{Fix构造函数）：

0 : _|_
0 : 1 : _|_
0 : 1 : 2 : _|_
...

并且它们形成一条递增链，因此必须有一个最小上限，该上限必须是自然整数0 : 1 : 2 : ...的无限列表。因此，ListF的最小不动点包含无限个列表，因此与最大不动点重合。

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正如评论中指出的那样，最大的固定点由类型[]给出的主张可能需要澄清。例如，由大型序号索引的列表的某些CPO“ BigList”不会带来更大的固定点吗？

首先可以证明[]满足最终ListF-coalgebra的定义。然后，最终的凝聚态的一个特性是它们在同构性之前都是唯一的。因此，由较大序数索引的列表将导致非同构CPO，因此不能成为最终的合并代数。

我可以停在那里，但是等一下，BigList仍然不是ListF的更大固定点吗？我的结论是将问题归结为术语错误，在形式上我们应该只讨论“最终定理”，而不是“最大定点”。

根据如何在CPO中定义函子的“不动点”以及CPO之间的（预）顺序的概念，您可能会发现BigList是ListF的不动点，它大于[]，当您到达“最大固定点”时会遇到集合理论悖论，并且最终以正式化“最大固定点”的方式对Haskell从业者没有任何价值。因为您实际上想要的是最终结对子的优良特性。

（我想知道一种直接的方法来定义不包含BigList的“固定点”。）

因此，“最大固定点”一词也可能是“最终结代”的同义词。有些直觉会延续下去（“固定点”通常可以通过迭代来实现），有些则不能（在集合论的意义上不是“最大”）。