Question

给出一个first n个自然数的数组，其中缺少一个元素，一个重复元素。找出两个数字。采访中有人问我这个问题。

例如，示例数组为

5, 2, 1, 4, 5
where n=5

给定数组的答案应为：

missing element = 3
duplicate element = 5

是否有可能在不迭代数组的情况下提出解决方案。

我能够提出一个复杂度为O（nlogn）的解决方案，而无需额外的空间。是否存在O（n）解决方案（没有额外的空间）？

Answer 1

假设您有数字1,...,n。现在，将它们的总和1 + 2 + ... + n表示为S。如果将缺失数表示为j，将重复数表示为k，则将得到修改后的总和S' = S - j + k，因此这是两个变量的一个等式。我们可以重复相同的过程，但是这次，将第二次幂相加，即S_2 = 1 + 4 + ... + n^2。对于缺少一个和一个重复编号的序列，结果将为S_2' = S_2 - j*j + k*k。这样我们就得到了两个关于两个变量的方程。

总共，我们有：

S'   = S   - j   + k
S_2' = S_2 - j*j + k*k

因此

k - j     = S'   - S   =: a
k*k - j*j = S_2' - S_2 =: b

我们引入了符号a和b来简化表示法。现在，k*k - j*j = (k - j)*(k + j)，因此：

k - j     = a
k*k - j*j = a * (k + j) = b

对两个方程求和得出：

2*k = b/a + a
2*j = b/a - a

对于您的特定示例：

S   = 1 + 2 + 3 + 4  + 5  = 15
S_2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

对于缺少一个元素和一个重复元素的系列：

S'   = 5  + 2 + 1 + 4  + 5  = 17
S_2' = 25 + 4 + 1 + 16 + 25 = 71

然后：

a = S'   - S   = 2
b = S_2' - S_2 = 16

因此：

2*k = 8 + 2 = 10
2*j = 8 - 2 = 6

给出：

k = 5, j = 3

在实践中（如@HermanTheGermanHesse所述），对于S以及S_2的{{1}}的多项式而言，人们可以获得封闭式expressions（因此称为Faulhaber的公式），即：n和S = n*(n+1)/2。因此，只需遍历输入数据，累加S_2 = n*(n+1)*(2*n+1)/6和S'并使用上面给出的S_2'和k的公式就足够了……

给定一个“前n个”自然数数组，其中缺少一个元素和一个重复元素。找出两个数字

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