Question

我是Haskell的新手，并且很难理解如何使用自动微分模块AD进行类型检查来获取程序。

我的目标是实现隐式Euler ODE求解器，该求解器利用牛顿法对离散方程进行数值求解。（我试图将其推广到ODE系统，但是对于我的问题，仅考虑一个ODE的情况就足够了）

我实现了如下的牛顿方法：

import Numeric.AD
import Numeric.AD.Rank1.Forward (Forward, diff')

newton :: (Fractional a, Eq a, Ord a) => (Forward a -> Forward a) -> a -> a -> a
newton equation guess tolerance
    | abs (equation (auto guess)) < auto tolerance = guess
    | otherwise = newton equation newGuess tolerance
    where
        newGuess = guess - correction
        (y,y') = diff' equation guess
        correction = y/y'

在可以将其用于

的意义上，此功能有效

mySqrtOfTwo = newton (\(x) -> x^2 - 2) 1 0.001

但是，如果我尝试将其用于其他功能，例如

impEuler f (x, y) newx = (newx, newy) 
    where
        newy = newton fDisc y 1e-3
        fDisc yUnknown = yUnknown - y + (newx - x) * (f (x,yUnknown))

我收到错误

• Occurs check: cannot construct the infinite type: b ~ Forward b
• In the second argument of ‘newton’, namely ‘y’
      In the expression: newton fDisc y 1e-3
      In an equation for ‘newy’: newy = newton fDisc y 1e-3

我想我理解为什么会出现此错误，但我不明白为什么仅在将newton函数用于另一个函数而不是直接调用时才会发生。此外，我想知道解决这个问题的正确方法是什么。

我考虑过以某种不同的方式实现功能newton，即它的类型

newton :: (Fractional a, Eq a, Ord a) => (a -> a) -> a -> a -> a

但是我不知道该怎么做，如果这是一种好的样式，我也不知道。

为简化此问题：我知道我可以使用auto从a到Forward a，但是我不知道怎么走，如果这样甚至可能。

编辑：按照@leftroundabout的建议，我实现了以下功能：

impEuler :: (Double -> Forward Double -> Forward Double) -> (Double,Double) -> Double -> Double
impEuler f (x, y) newx = newy
where newy = newton fDisc y 1e-3
      fDisc :: Forward Double -> Forward Double
      fDisc yUnknown = yUnknown - realToFrac y - realToFrac (newx - x) * f x yUnknown

这要求传递给impEuler的ode也具有类型(Double -> Forward Double -> Forward Double)，我希望避免这种类型，因为我可能决定使用显式方法（不需要牛顿方法）来解决ode。因此，我添加了功能

odePromoter :: (Double -> Double -> Double) -> (Double -> Forward Double -> Forward Double)
odePromoter ode x y = realToFrac (ode x (realToFrac y))

以便将类型（Double-> Double-> Double）的颂歌转换为类型（Double-> Forward Double-> Forward Double）之一。

Answer 1

关键是，fDisc必须能够支持自动区分。即它的类型必须为Forward Double -> Forward Double。但是，在

   fDisc yUnknown = yUnknown - y + (newx - x) * (f (x,yUnknown))

您有值y，x和newx，它们是简单的具体数字，可能是Double。 Haskell永远不会隐式转换/提升类型，因此您需要fDisc :: Double -> Double，这意味着newton无法使用它。

解决方案：允许这些值的显式提升。一种标准的方法是realToFrac。

impEuler :: (Double -> Forward Double -> Forward Double) -> (Double,Double) -> Double
impEuler f (x, y) newx = newy
 where newy = newton fDisc y 1e-3
       fDisc :: Forward Double -> Forward Double
       fDisc yUnknown = yUnknown - realToFrac y + realToFrac (newx - x) * f x yUnknown

请注意，我必须使用函数f，因此它在解决方案变量之前将time参数作为常量单独使用。

haskell AD模块：Mode类型类的困难

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