我有一个L级深度的树数据结构，每个节点都有约 N个节点。我想计算树中的节点总数。要做到这一点（我认为），我需要知道有孩子的节点的百分比。
N？
中叶节点与非叶节点的比率的正确术语是什么？计算三个节点中的总节点数的公式是什么？
更新有人在其中一个答案中提到分支因子，但随后就消失了。我认为这是我一直在寻找的术语。那么公式是否应该考虑分支因子？
更新我应该对假设的数据结构做出估计，而不是确切的数字！
答案 0 :(得分：25)
好的，每个节点有大约N个子节点，树的深度为L级。
With 1 level, the tree has 1 node.
With 2 levels, the tree has 1 + N nodes.
With 3 levels, the tree has 1 + N + N^2 nodes.
With L levels, the tree has 1 + N + N^2 + ... + N^(L-1) nodes.
节点总数为（N ^ L-1）/（N-1）。
好的，只是一个小例子，它是指数的：
[NODE]
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/|\
/ | \
/ | \
/ | \
[NODE] [NODE] [NODE]
|
/|\
/ | \
答案 1 :(得分：8)
只是为了纠正第一个答案中的拼写错误：深度为L的树的节点总数为（N ^（L + 1）-1）/（N-1）...（即，功率L + 1而不仅仅是L）。
这可以显示如下。首先，采用我们的定理：
1 + N ^ 1 + N ^ 2 + ... + N ^ L =（N ^（L + 1）-1）/（N-1）
将两边乘以（N-1）：
（N-1）（1 + N ^ 1 + N ^ 2 + ... + N ^ L）= N ^（L + 1）-1。
展开左侧：
N ^ 1 + N ^ 2 + N ^ 3 + ... + N ^（L + 1） - 1 - N ^ 1 - N ^ 2 - ... - N ^ L。
所有项N ^ 1到N ^ L都被取消，留下N ^（L + 1） - 1.这是我们的右手边，所以初始相等是正确的。
答案 2 :(得分：1)
计算深度为L的节点数量的公式为:(假设有N个根节点）
名词→
要计算每个层需要执行此操作的所有节点的数量：
for depth in (1..L)
nodeCount += N ** depth
如果只有一个根节点，则从L中减去1并将1添加到总节点数。
请注意，如果在一个节点中叶子的数量与平均情况不同，则会对您的数量产生很大影响。在树中越往上越有影响力。
* * * N ** 1
*** *** *** N ** 2
*** *** *** *** *** *** *** *** *** N ** 3
这是社区维基，所以请随意修改我令人震惊的代数。
答案 3 :(得分：1)
如果你的树大约已经，那么除了最后两个之外，每个级别都有其完整的子级，那么你有N ^（L-2）和N ^（L- 1）叶节点和N ^（L-1）和N ^ L节点之间的总数。
如果你的树没有满，那么知道叶子节点的数量没有帮助，因为完全不平衡的树将有一个叶子节点但是任意多个父节点。
我想知道你的'每个节点有关N个节点'的说法有多精确 - 如果你知道平均分支因子，也许你可以计算树的预期大小。
如果您能够找到叶子与内部节点的比率，并且您知道平均子节点数，则可以将其近似为（n * ratio）^ N = n。这不会给你你的答案，但我想知道如果有一个比我更好的数学的人能找到一种方法将L插入这个等式并给你一些可溶的东西。
但是，如果你想要准确地知道，你必须迭代树的结构并随时计算节点。
答案 4 :(得分：0)
如果除了树的深度之外你什么都不知道，那么计算总大小的唯一选择就是计算它们。
答案 5 :(得分：0)
Knuth的估计量[1]，[2]是point estimate，它以任意有限树中的节点数为目标，而无需遍历所有节点，即使树不平衡也是如此。 Knuth的估计量是无偏估计量的一个示例。 Knuth估计量的期望值将是树中的节点数。话虽如此，如果所讨论的树不平衡，则Knuth估计量的方差可能会很大，但是在您的情况下，由于每个节点大约有N个子代，因此我认为Knuth估计量的方差不会太大。当人们试图测量执行暴力搜索所需的时间时，此估算器特别有用。
对于以下功能，我们假定所有树都表示为列表列表。
例如，[]表示具有单个节点的树，[[],[[],[]]]表示具有5个节点和3个叶子的树（树中的节点与左侧一一对应。括号）。以下功能以GAP语言编写。
函数simpleestimate为输出提供对树tree中节点数的估计。 simpleestimate背后的想法是，我们随机选择从树的根x_0到叶x_n的路径x_0，x_1，...，x_n。假设x_i具有a_i后继者。然后simpleestimate将返回1 + a_1 + a_1 * a_2 + ... + a_1 * a_2 * ... * a_n。
point:=tree; prod:=1; count:=1; list:=[];
while Length(point)>0 do prod:=prod*Length(point); count:=count+prod; point:=Random(point); od;
return count; end;
函数estimate将简单给出通过多次应用函数simpleestimate(tree) samplesize给出的估算值的算术平均值。
estimate:=function(samplesize,tree) local count,i;
count:=0;
for i in [1..samplesize] do count:=count+simpleestimate(tree); od;
return Float(count/samplesize); end;
示例：simpleestimate([[[],[[],[]]],[[[],[]],[]]]);返回15的同时
estimate(10000,[[[],[[],[]]],[[[],[]],[]]]);返回10.9608（树实际上有11个节点）。