得到ECDF的导数

Question

是否可以区分ECDF？以下面获得的示例为例。

set.seed(1)

a <- sort(rnorm(100))
b <- ecdf(a)

plot(b)

我想采用b的导数以获得其概率密度函数（PDF）。

Answer 1

n <- length(a)  ## `a` must be sorted in non-decreasing order already
plot(a, 1:n / n, type = "s")  ## "staircase" plot; not "line" plot

  

但是我正在寻找b的派生词

在基于样本的统计数据中，未通过微分从ECDF中获得估计的密度（对于连续随机变量），因为样本数量有限且ECDF不可微。相反，我们直接估算密度。我猜plot(density(a))是您真正想要的。

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几天后。

警告：以下只是没有统计依据的数值解决方案！

我将以此为练习来了解针对形状受限制的附加模型的R包scam ，这是Wood教授的早期博士生Pya博士的mgcv子包。

逻辑是这样的：

• 使用scam::scam，使单调递增的P样条曲线适合ECDF（您必须指定所需的节数）； [请注意，单调性不是唯一的理论约束。要求将平滑的ECDF的两个边缘“修剪”：左边缘为0，右边缘为1。我目前正在使用weights来施加这样的约束，方法是在两个边缘上赋予很大的权重]
• 使用stats::splinefun，通过结和结上的预测值，使用单调插值样条重新拟合拟合的样条；
• 返回插值样条函数，该函数还可以计算一阶，二阶和三阶导数。

为什么我希望这样做有效？

随着样本量的增加，

• ECDF收敛到CDF;
• P样条曲线是一致的，因此平滑的ECDF将越来越不受ECDF的偏见；
• 平滑的ECDF的一阶导数对于PDF将越来越无偏。

谨慎使用：

• 您必须自己选择节数；
• 对导数进行不归一化，使得曲线下的面积为1；
• 结果可能非常不稳定，并且仅对大样本量有用。

函数参数：

• x：样本向量；
• n.knots：结数；
• n.cells：绘制导数函数时的网格点数

您需要从CRAN安装scam软件包。

library(scam)

test <- function (x, n.knots, n.cells) {

  ## get ECDF
  n <- length(x)
  x <- sort(x)
  y <- 1:n / n
  dat <- data.frame(x = x, y = y)  ## make sure `scam` can find `x` and `y`

  ## fit a monotonically increasing P-spline for ECDF
  fit <- scam::scam(y ~ s(x, bs = "mpi", k = n.knots), data = dat,
                    weights = c(n, rep(1, n - 2), 10 * n))
  ## interior knots
  xk <- with(fit$smooth[[1]], knots[4:(length(knots) - 3)])
  ## spline values at interior knots
  yk <- predict(fit, newdata = data.frame(x = xk))
  ## reparametrization into a monotone interpolation spline
  f <- stats::splinefun(xk, yk, "hyman")

  par(mfrow = c(1, 2))

  plot(x, y, pch = 19, col = "gray")  ## ECDF
  lines(x, f(x), type = "l")          ## smoothed ECDF
  title(paste0("number of knots: ", n.knots,
               "\neffective degree of freedom: ", round(sum(fit$edf), 2)),
        cex.main = 0.8)

  xg <- seq(min(x), max(x), length = n.cells)
  plot(xg, f(xg, 1), type = "l")     ## density estimated by scam
  lines(stats::density(x), col = 2)  ## a proper density estimate by density

  ## return smooth ECDF function
  f
  }

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## try large sample size
set.seed(1)
x <- rnorm(1000)
f <- test(x, n.knots = 20, n.cells = 100)

f是stats::splinefun返回的函数（读为?splinefun）。

一个简单的类似解决方案是在ECDF上进行插值样条而不进行平滑处理。但这是一个非常糟糕的主意，因为我们缺乏一致性。

g <- splinefun(sort(x), 1:length(x) / length(x), method = "hyman")
curve(g(x, deriv = 1), from = -3, to = 3)

提醒：强烈建议使用stats::density进行直接密度估算。