计算一维数组之间的协方差，以将其合并到Python中的不确定性传播中

Question

我有四个因变量的一维数组。它们包含数百个数据点，但在此示例中，我将它们裁剪为20个。每个点代表地图上的一个网格单元。

import numpy as np

A=np.asarray([0.195, 0.154, 0.208, 0.22, 0.204, 0.175, 0.184, 0.187, 0.171, 0.2, 0.222, 0.235, 0.206, 0.215, 0.222, 0.252, 0.269, 0.251, 0.285, 0.28])
B=np.asarray([0.119, 0.134, 0.132, 0.121, 0.11, 0.097, 0.13, 0.106, 0.103, 0.139, 0.124, 0.147, 0.152, 0.123, 0.177, 0.172, 0.18, 0.182, 0.197, 0.193])
C=np.asarray([0.11, 0.1, 0.103, 0.111, 0.105, 0.098, 0.099, 0.093, 0.105, 0.099, 0.113, 0.093, 0.104, 0.095, 0.099, 0.105, 0.108, 0.128, 0.125, 0.118])
D=np.asarray([-0.015, -0.015, -0.007, -0.02, 0.002, 0.009, 0.019, 0.0, -0.02, -0.001, -0.006, -0.015, -0.03, -0.036, -0.051, -0.058, -0.065, -0.081, -0.082, -0.055])

每个变量的错误都包含在数组中：

A_err=np.asarray([ 0.016,  0.015,  0.017,  0.016,  0.015,  0.016,  0.016,  0.018, 0.015,  0.014,  0.015,  0.016,  0.017,  0.016,  0.017,  0.017, 0.017,  0.017,  0.017,  0.017])
B_err=np.asarray([ 0.045,  0.049,  0.039,  0.044,  0.036,  0.027,  0.032,  0.033, 0.029,  0.036,  0.032,  0.027,  0.04 ,  0.022,  0.034,  0.026, 0.021,  0.028,  0.035,  0.028])
C_err=np.zeros(20)+0.7
D_err=np.zeros(20)+0.9

Y是A，B，C和D的总和：

Y=A+B+C+D

显然，在20个网格单元中，每个Y的值都不同。我要计算的是每次Y测量的误差。 最初，我的计算方式很简单：

Y_err=np.sqrt(A_err**2 + B_err**2 + C_err**2 + D_err**2)

但这不包括协方差项。由于我没有变量A，B，C和D的表达式，因此，我可以看到的唯一计算协方差的方法是使用相关协方差矩阵：

X = np.vstack([A,B,C,D])
C = np.cov(X)
print(C)
[[  1.31819737e-03   9.52921053e-04   2.17881579e-04  -8.58197368e-04]
[  9.52921053e-04   9.87252632e-04   1.69478947e-04  -7.97089474e-04]
[  2.17881579e-04   1.69478947e-04   9.47868421e-05  -1.88007895e-04]
[ -8.58197368e-04  -7.97089474e-04  -1.88007895e-04   8.85081579e-04]]

我不清楚我是否可以然后简单地添加六个非对角矩阵项中的每一项：

σ_AB=9.52921053e-04 
σ_AC=2.17881579e-04
σ_AD=-8.58197368e-04
σ_BC=1.69478947e-04
σ_BD=-7.97089474e-04
σ_CD=-1.88007895e-04 

进入误差传播方程，例如：

Y_err=np.sqrt(A_err**2 + B_err**2 + C_err**2 + D_err**2 + 2*σ_AB + 2*σ_AC + 2*σ_AD + 2*σ_BC + 2*σ_BD + 2*σ_CD)

还是完全无效？

Answer 1

这就是我对您的测量的理解：如果您对一个网格进行了多次测量。然后，您将根据那些观测值（包括交叉项）计算出测量中的标准误差。 在这里，您对每个网格都有一个单独的度量，并且与该度量相关的误差。 由于您使用相同的过程对所有20个网格进行了测量，因此您可以为测量过程计算std_err，并对所有20个观测值添加相同的不确定性。

用于建模误差测量中的不确定性（仅误差项），即Y_err中的标准误差。协方差/交叉项让您了解测量中的不确定性/误差如何相互关联（即σ_A_err_B_err），而不是实际测量变量如何相互关联（即σ_AB）。

而不是： X = np.vstack([A,B,C,D])

您需要： X = np.vstack([A_err,B_err,C_err,D_err])，以错误方式计算协方差。

您的公式应为：协方差矩阵（包括对角线项）中包含的所有参数：np.cov(np.vstack([A_err,B_err,C_err,D_err]))

Y_std_err= np.sqrt(σ_A_err**2 + σ_B_err**2 + σ_C_err**2 + σ_D_err**2 + 
                   2*σ_A_err_B_error + 2*σ_A_err_C_err + 2*σ_A_err_D_err + 
                   2*σ_B_err_C_err + 2*σ_B_err_D_err + 2*σ_C_err_D_err)

此外，您可以直接乘矩阵以获得 y 的样本方差，而不是求和公式。

其中 S ，这里是误差项和 c 的样本方差/协方差矩阵，测量模型的线性组合系数。

X = np.vstack([A_err,B_err,C_err,D_err])        # matrix of error terms
cov = np.cov(X)
c = np.asarray([1, 1, 1, 1])                    # coefficients: linear combination 
var_y_err = np.matmul(c.T, np.matmul(cov,c))

np.sqrt(var_y_err)                              # standard error in measurement of Y: stdy_y_err
# 0.007379024325749306

Y值应该简单地是A，B，C，D的总和，并且每个数组点的平均Y_error高于（+或-）（取决于误差方向），并具有自己的标准误差（+/-）。

Y = A + B + C + D  (+ or -) Y_err_avg     # Y_err will be an interval for every grid:
Y_err_avg = sum(A_err + B_err + C_err + D_err)/ 20 + (+/-) std_y_err

PS：我不是错误传播专家。我建议您将查询发布到经过交叉验证的专家意见上。