Question

给出一个数字字符串，例如"12335457"。有效分区是字符串的分区，因此每个段都严格大于前一个段。

例如，"12 | 33 | 54 | 57"是有效分区，而57 > 54 > 33 > 12是有效分区。另一个有效分区可以是"12 | 335 | 457"。

给定的字符串可能有多少个有效分区？字符串的最大长度可以为5000。

如果我们使用带有参数i和j的动态编程，这意味着最后一段来自i ... to ..j，那么我们可以递归其余部分。

int solve(int i,int j) {
    // memoization need to be added
    int last_length = j - i + 1;
    int ans = 0;
    for(int k = j + last_length ; k < n ; k++) {
        if( segment(j+1,k) > segment(i,j) ) {   // this is possible in O(1) even if segment lengths are equal
                                                // we should do some pre preocessing on the given string
                                                // which can take O(n^2) time
                                                // if segment(j+1,k) length is more than L , then it is trivial
            ans += solve(j+1 , k);
        }
    }
}

但是这种方法将花费O（n ^ 3）的时间。如何从O（n ^ 3）减少它？

谢谢

Answer 1

观察：

让我们将sudo apt-get install python-dev的最小值index称为segment(j + 1 , index) > segment(i, j)，我们可以看到x
所以，让我们叫solve(i, j) = sum( solve(j + 1, k) ) with x <= k < n，我们有我们的功能：
```
dp[i][j] = sum(solve[i][k]) with j <= k < n
```
最后一个问题是如何计算int solve(int i,int j) { // memoization need to be added int last_length = j - i + 1; int ans = 0; int index = getMinIndexForSegment(i,j) ans = solve(j + 1, index) + solve(i, j + 1); return ans; }？我们意识到我们可以使用二进制搜索来快速找到其结果。
```
getMinIndexForSegment
```

如OP所述，如果数字仅包含正数，那么我们只需要比较int getMinIndexForSegment (int i, int j){ int st = j + 1; int ed = n - 1; int res = n; while(st <= ed){ int mid = (st + ed)/2; if(segment(i, j) < seg(j + 1, mid)){ res = mid; ed = mid - 1; }else{ st = mid + 1; } } return res; }和(i , j)和(j + 1 , k)的两个段

Answer 2

我们可以有一个O(n^2)算法。令f(i, j, s)代表直到段i的第s个字符并向后扩展j个字符的段为止的有效分区数。然后：

f(i, j, s):
  # A segment extending all the way to the start
  if i + 1 == j:
    return 1

  # A one-character segment that's smaller
  # than the preceding character
  if j == 1 and s[i] <= s[i - 1]:
    return 0

  segment = s[i - j + 1...i]

  # Find longest preceding segment in O(1)
  longest = 
    a segment of length j extending back
    from s[i - j] or length (j-1) if the first
    segment was equal or larger than segment

  # Replace 'sum' with O(1) prefix sum calculation
  # since we can record that for each previous i
  # as we increase j
  return sum(f(i - j, k, s) for k = 1 to length(longest))

字符串分区，以便分区按升序排列

2 个答案: