Question

我试图证明欧拉准则的一种非常有限的形式：

Variable F : finFieldType.
Hypothesis HF : (1 != -1 :> F).
Lemma euler (a : F) : a^+(#|F|.-1./2) = -1 -> forall x, x^+2 != a.

我已经完成了大部分证明，但是剩下odd (#|F|.-1) = 0，即#|F|.-1是偶数。（我对特征2不感兴趣）。我似乎在数学比较库中找不到关于finFieldType的基数的有用事实。例如，我期望一个引理说存在p和prime p这样的#|F| = p。我在这里想念东西吗？

顺便说一句，我也可能完全错过了数学比较库本身中已有的欧拉准则证明。

Answer 1

我不知道关于欧拉准则的证明，但是我在芬菲尔德发现了两个引理，它们为您提供了为完成证明而期望的两个结果（第二个可能未按预期提供）：

首先，您具有以下引理，给您与字段p的特征相对应的质数F（只要它是finFieldType）：

Lemma finCharP : {p | prime p & p \in [char F]}.

然后，另一个引理给出了基数参数：

Let n := logn p #|R|.
Lemma card_primeChar : #|R| = (p ^ n)%N.

第二个引理的问题是您的字段应被识别为PrimeCharType，它大致对应于具有显式特征的ringType。但是给定第一个引理，您就可以动态地为您的字段（通常具有ringType）提供这样的结构。可能的证明可能是以下

Lemma odd_card : ~~ odd (#|F|.-1).
Proof.
suff : odd (#|F|) by have /ltnW/prednK {1}<- /= := finRing_gt1 F.
have [p prime_p char_F] := (finCharP F); set F_pC := PrimeCharType p_char.
have H : #|F| = #|F_primeChar| by []; rewrite H card_primeChar -H odd_exp => {H F_pC}.
apply/orP; right; have := HF; apply: contraR=> /(prime_oddPn prime_p) p_eq2.
by move: char_F; rewrite p_eq2=> /oppr_char2 ->.
Qed.

finFieldType /欧拉准则的基数

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