Question

我正在尝试使用numpy或python中的任何内容找到从点（x0，y0，z0）到由（x1，y1，z1）和（x2，y2，z2）连接的线的最小距离。不幸的是，我在网上找到的所有内容都与2d空间有关，而且我对python来说相当新。任何帮助将不胜感激。提前谢谢！

Answer 1

StackOverflow不支持Latex，所以我要掩饰一些数学。一种解决方案来自这样的想法：如果您的线条跨越点p和q，那么对于某些实值t*(p-q)+q，该线上的每个点都可以表示为t 。然后，您希望最小化给定点r与该行上任何点之间的距离，并且距离方便地是单个变量t的函数，因此标准微积分技巧可以正常工作。请考虑以下示例，该示例计算r与p和q跨越的行之间的最小距离。我们知道答案应该是1。

import numpy as np

p = np.array([0, 0, 0])
q = np.array([0, 0, 1])
r = np.array([0, 1, 1])

def t(p, q, r):
    x = p-q
    return np.dot(r-q, x)/np.dot(x, x)

def d(p, q, r):
    return np.linalg.norm(t(p, q, r)*(p-q)+q-r)

print(d(p, q, r))
# Prints 1.0

这适用于任何数量的维度，包括2,3和10亿。唯一真正的限制是p和q必须是不同的点，以便它们之间有一条唯一的线。

我在上面的例子中打破了代码，以便显示我从数学上思考它的方式产生的两个不同步骤（找到t然后计算距离）。这不一定是最有效的方法，如果你想知道各种各样的点和同一条线的最小距离肯定不是 - 如果尺寸的数量很小则加倍。要获得更有效的方法，请考虑以下事项：

import numpy as np

p = np.array([0, 0, 0])  # p and q can have shape (n,) for any
q = np.array([0, 0, 1])  # n>0, and rs can have shape (m,n)
rs = np.array([          # for any m,n>0.
    [0, 1, 1],
    [1, 0, 1],
    [1, 1, 1],
    [0, 2, 1],
])

def d(p, q, rs):
    x = p-q
    return np.linalg.norm(
        np.outer(np.dot(rs-q, x)/np.dot(x, x), x)+q-rs,
        axis=1)

print(d(p, q, rs))
# Prints array([1.        , 1.        , 1.41421356, 2.        ])

我可能会有一些简化，或者其他可能加速的事情，但至少应该是一个好的开始。

Answer 2

这复制了@Hans Musgrave解决方案，但想象一下我们什么都不知道 “标准微积分技巧”在线性代数中“工作正常”而且非常糟糕。

我们所知道的是：

如何计算两点之间的距离
一个在线点可以表示为两个点和一个参数
我们知道找到一个最小功能

（列表不是代码块的朋友）

def distance(a, b):
    """Calculate a distance between two points."""
    return np.linalg.norm(a-b)

def line_to_point_distance(p, q, r):
    """Calculate a distance between point r and a line crossing p and q."""
    def foo(t: float):
        # x is point on line, depends on t 
        x = t * (p-q) + q
        # we return a distance, which also depends on t        
        return distance(x, r)
    # which t minimizes distance?
    t0 = sci.optimize.minimize(foo, 0.1).x[0]
    return foo(t0)

# in this example the distance is 5
p = np.array([0, 0, 0])
q = np.array([2, 0, 0])
r = np.array([1, 5, 0])

assert abs(line_to_point_distance(p, q, r) - 5) < 0.00001

您不应该将此方法用于实际计算，因为它使用你有一个封闭形式的解决方案的近似值，但也许它有用揭示一些逻辑提出相邻的答案。

3 d空间中点与线之间的最短距离

2 个答案: