Question

给定无向连通图，找到所有节点对（由边连接），其删除会断开图形。
没有平行边缘，没有边缘将节点连接到自身。

问题看起来类似于找到连接的无向图的关节点（或桥） - 但是有一个扭曲，我们必须删除由边连接的一对顶点（以及连接到该对的所有其他边）

这是一个家庭作业问题。我一直试图解决它，阅读有关DFS和清晰度点算法（每个节点的书本深度和低点） - 但这些方法都没有帮助解决这个问题。我已经通过Cormen的算法简介进行了检查，但没有任何主题建议适当（授予，书籍有1500页）。

虽然找到关节点也会（大部分时间）找到这样的一对是真的，但是有很多对不是关节点 - 考虑一个有4个顶点，5个边的图形（具有单个对角线的正方形）：它有一个这样的对但没有关节点（也没有桥）。

我输了。帮助我，堆栈溢出，你是我唯一的希望。

Answer 1

相当简单，也许不是最有效的：

让图形为G =（V，E），其中V：= {v_1，...，v_n}。对于V let G_V'的每个子集V'，是包括节点V \ V'的节点诱导子图。进一步让N> _v_i：= {v_j in V：{v_i，v_j}在E和j＆gt;中。 i}是G中v_i的所有邻居的集合，索引大于i。最后，让c（G）成为图的连通分量集。

按如下方式计算对：

pairs = {}
for each v in V:
    compute G_{v}
    if G_{v} is unconnected:
        for each v' in N>_v:
            # Ensures that removal of v' does not render subgraph connected
            # (Note comment by MkjG)
            if |c(G_{v})| > 2 or {v'} not in c(G_{v}):
                add {v,v'} to pairs
    else:
        for each v' in N>_v:
            compute G_{v,v'}
            if G_{v,v'} unconnected:
                add {v,v'} to pairs

可以通过DFS或BFS在O（m + n）中检查连接性。因此运行时应为O（n * k *（m + n）），其中k是G的最大度数。

Answer 2

根据@MkjG建议使用DFS计算清晰度点来更新我之前的答案。

让图形为G =（V，E），其中V：= {v_1，...，v_n} _。对于V let G_V'的每个子集V'，是包括节点V \ V'的节点诱导子图。对于G连接，如果G_ {v}未连接，我们将V在V中称为关节点。设N_v为G中v的邻居集。

可以通过DFS计算关节点，阅读here以获取有关算法的更多信息。简而言之：

为V
r是一个发音点，如果它在T
V中的任何其他节点v是关节点，如果它在T中具有满足以下条件的子v'：在以V'为根的T的子树T'中没有节点具有到祖先的后端v

让图G上的DFS结果为V中节点v上的函数c.c（v）是N_v的子集，如果满足以下两个条件，它在c（v）中保持v' ：

v'是T
根据v'的子树T'中没有任何节点具有v的祖先的后边缘

注意，对于T的根节点r，c（r）是r的所有子节点的集合。函数c可以在时间O（n + m）中计算。

按如下方式计算分隔符对：

# performs DFS on G for some root node r
c = DFS(G,r)
# computes articulation points of G and corresponding number of components
aps = {}
compCounts = {}
for each v in V:
    numComps = |c(v)|
    if v != r:
        ++numComps
    if numComps > 1:
        add v to aps
        compCounts[v] = numComps
# computes the set of all separator pairs containing at least on ap
S = {}
for each v in aps:
    numComps = compCounts[v]
    for each v' in N_v:
        if numComps > 2:
            # G_{v,v'} has at least two connected components
            add {v,v'} to S
        else:
            # if v' is an isolated node in G_{v}, then G_{v,v'} is connected
            if N_v' != {v}:
                add {v,v'} to S
# computes remaining separator pairs
for each v in V \ aps:
    compute G_{v}
    # performs DFS on G_{v} for some root r_v != v
    c_v = DFS(G_{v},r_v)
    # adds separator pairs for articulation points of G_{v} in N_v
    for each v' in N_v:
        numComps = |c(v')|
        if v' != r_v:
            ++numComps
        if numComps > 1:
            add{v,v'} to S

运行时在O（n *（n + m））

Answer 3

断开图形的一组k个边缘称为k-cut。您正试图枚举图表的所有2个切割。

This paper描述了一种有效的算法来枚举图的所有切割。应该可以对其进行调整以找到图表的所有2个切割。

查找删除断开连接图的所有节点对

3 个答案: