比较`exp（-mod（x））`

Question

我想使用numpy.fft模块了解函数的解析和数字FT之间的区别（即为什么它们不相同）。从等式开始

，

这可以显示傅立叶变换给出分析FT（参见例如Arfken，Weber和Harris p966，或sympy：fourier_transform(exp(-abs(x)), x, k)，这是2 * pi不同的因素） ：

。

使用python / numpy计算sig = np.exp(-np.abs(x))的FFT，得到一个可以根据分析解决方案绘制的数字FT（图中的ft_numeric~ = ft_analytic x wave）。

分析FT可以看作是数值FT的边界窗口函数，可以通过乘以适当的cos函数（ft_analytic x wave重叠ft_numeric，参见示例代码）转入数值FT形式的功能）。

我的问题是为什么这个numpy FFT在这种情况下产生一个修改的（由cos波调制）数字FT？这与FFT的定义方式有关，我如何从其描述中说明这一点：numpy FFT implementation。

import numpy as np
import numpy.fft as fft
import pylab as plt

x = np.linspace(-10, 10, 2001)
dx = x[1] - x[0]
normalization = 1 / dx

k = 2 * np.pi * fft.fftshift(fft.fftfreq(x.shape[0], d=dx))

# Signal.
sig = np.exp(-np.abs(x))

# Both shifted.
ft_numeric = fft.fftshift(fft.fft(sig))
ft_analytic = 2 / (1 + k**2)

wave = np.cos(2 * np.pi * k / (k[2] - k[0]))

plt.figure(1)
plt.clf()
plt.title('signal')
plt.plot(x, sig)
plt.xlabel('x')

plt.figure(2)
plt.clf()
plt.title('FT')
plt.plot(k, ft_analytic.real, label='ft_analytic')
plt.plot(k, normalization * ft_numeric, label='ft_numeric')
plt.plot(k, normalization * ft_numeric * wave, label='ft_analytic x wave')
plt.xlim((-15, 15))
plt.xlabel('k')
plt.legend()

plt.show()

Answer 1

似乎存在根本性的误解。没有cos调制。您只是绘制数字FFT信号的实部和分析的幅度 当您处理真实信号时，实际部分显然会在0左右反映出来。因此余弦。