Question

考虑以下Python代码，它对Python中的复数进行一些简单的算术运算：

import numpy as np

s = 2
l = 5
v = np.array([np.exp(1j*2*np.pi/l)])
A = pow(s*v, l) + s*v

#Print the precision of np.complex128
print np.finfo(np.complex128).precision

#Export using 20 decimal places for real and imaginary parts
np.savetxt('A.csv', A, fmt=['%.20e%+.20ej'], delimiter=',')

我看到这个answer是为了在Python中打印np.complex128变量的精度，我得到的是15.当我在Spyder中检查A的值时，我看到(32.61803398874989+1.9021130325903035j)其虚部超过15位小数。此外，导出的CSV文件的值为3.26180339887498931262e+01+1.90211303259030350965e+00j 其实部和虚部都有20个有用的小数位。

我在这里很困惑：如果精度为15，那么额外的小数位数是多少？根据{{3}}，np.complex128由两个64位浮点组成，一个用于实数，一个用于虚部。

但是我的主要问题是我在程序中对复杂的数字（如加法，乘法和矩阵求逆）进行了许多这样的操作，每次运行时我得到的结果不同，有时是正确的，有时是错误的。我的程序似乎对这些操作的准确性非常敏感。如何在Python中量化复杂数字的精确度，我可以拥有的最大值是多少？

我使用的是Python 2.7.14和Numpy 1.14.3。

Answer 1

完整的答案需要很大的空间。对于初学者，您需要阅读一本关于数值分析的书籍，该书解释了二进制浮点类型如何工作和存储。但这里有一些部分解释。

64位浮点值以二进制形式存储，而不是十进制。因此，关于十进制数字的大部分内容必须是近似值，而不是完整的故事。

当np.finfo(np.complex128).precision（或其他任何内容）表示有15位有效十进制数字时，表示您不能指望超过这15位数。这是一个从我的IPython控制台获取的示例。

In [4]: 9.000000000000001
Out[4]: 9.000000000000002

In [5]: 9.000000000000001 == 9.000000000000002
Out[5]: True

Python，默认情况下，对任何带小数点的数字使用64位浮点类型，将这两个16位十进制数字视为相同。使用数字9.000000000000001时，只保证前15个十进制数字正确存储。之后的任何内容都无法保证，在这种情况下，您会看到1基本上已更改为2。

有时你可以得到超过那15个十进制数字。例如，由于数字以二进制形式存储，因此1.0之后的数字会比9.0更多，而9之后的数字会比1更多。这是因为1.9021130325903035使用4个二进制数字而In [17]: 1.902113032590303 == 1.9021130325903035 Out[17]: False In [18]: 1.9021130325903036 == 1.9021130325903035 Out[18]: True In [19]: 1.902113032590304 == 1.9021130325903035 Out[19]: False仅使用一个，因此在小数点之后可以使用3个二进制数字。因此，让我们看一下您的数字的虚部str：

repr

我们看到，虽然数字显示17个十进制数字，但当我们将最终数字从5更改为6时，Python看不到任何变化。但如果我们将该数字四舍五入到16位小数，无论是向上还是向下，都会有变化。所以我们可以说数字存储为16位十进制数字和更多。这就是为什么当我解释精度时，我说浮点数保证有15个有效十进制数，但它可能有16，实际精度略高于此。更简单地说，有15或16个有效十进制数字。

Python有两种打印浮点数的基本方法：str函数和repr函数。 repr函数可以简单地打印出来，因此用户可以理解结果，而无需详细说明。 repr函数提供了更多细节，并尝试打印如此多的细节，以便存储的数据可以完全由打印的内容确定。请注意，1.9021130325903035在某些情况下是不可见的，例如在控制台中键入数值，或者如您所见，在Spyder中使用变量资源管理器。

当Spyder或Python对您的号码5执行6时，它会提供足够的数字来完全定义号码。正如我们在上面看到的，如果它只显示16个十进制数字，丢弃最后的5，结果将与存储的结果略有不同。因此，Python会打印一个额外的数字，以便您可以知道该值是什么。如果Python打印了最终repr而不是%.20e，那么该值将是相同的，但如果Python完全忽略该数字，则该值将被更改。所以Python通过np.savetxt错误提供太多数字。尽管印有17位数字，但只有16位是确定的。

最后，您的csv文件显示20个十进制数字，因为您告诉Python显示20个十进制数字，这是由于{{1}}命令中的{{1}}说明符所致。尽管你写了什么，那20个十进制数字并不都是“有用的小数位”。根据您定义“有用”的方式，只有前16或17在虚部中有用。 Python基本上将二进制位（全零）添加到存储的值，并打印到20个十进制数字。但是那些零二进制位没有存储在值中。

Numpy小数点复数的精度

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