如何有效地找到整数k的值，其中q有限地划分b ^ k？

Question

我们给出了两个整数b和q，我们想找到整数'k'的最小值，q完全除以b ^ k或k不存在。我们能有效地找出k的价值吗？不仅迭代k（0,1,2,3，...）的每个值和检查（b ^ k）％q == 0），其中q <= k或q> = k。

Answer 1

首先，除非q = 1，否则k将永远不会等于零。除非q = b，否则k永远不会等于1。

接下来，如果你可以对q和b进行因子分解，那么你就可以对它们进行推理。

如果b的任何素因子根本不是q的因子，则k不存在。否则，k必须足够大，以便b ^ k的每个因子用q表示。

这里有一些伪代码：

if (q==1) return 0;
if (q==b) return 1;
// qfactors and bfactors are arrays, one element per factor
let qfactors = prime_factorization(q);
let bfactors = prime_factorization(b);
let kmin=0;
foreach (f in bfactors.unique) {
     let bcount = bfactors.count(f);
     let qcount = qfactors.count(f);
     if (qcount==0 || qcount < bcount) return -1; // k does not exist
     kmin_f = ceiling(bcount/qcount);
     if (kmin_f > kmin) let kmin = kmin_f;
}
return kmin;

Answer 2

如果q = 1; k = 0

如果b = q; k = 1

如果b> q和因素; k = 1

如果b < q和因素; k！=我

如果b！= q而不是因素; k！=我

我们知道， Dividend = Divisor x Quotient + Reminder

=＆GT; Dividend = Divisor x Quotient [Here，Reminder = 0]

现在计算Maxima和Minima，因为Quotient的值越低'k'的值。

如果您将商数视为1（最低但是分裂情况）那么'k'的公式变为，

k = log q / log b

Answer 3

我找到了解决方案-
如果q除以 pow（b，k），则 q 的所有素数都是 b 的素数。现在我们可以进行迭代 q = q÷gcd（b，q），而 gcd（q，b）≠1 。如果 q≠1 经过迭代，则存在 q 的素数，而不是 b 的素数
然后
k不存在
其他
k =迭代次数。