Question

我试图对一些真实数据进行二维傅里叶变换。我使用FFTW库来执行此操作，因为它比Armadillo的库快得多。

给出一个简单的（4x4）起始矩阵： AAA：

    0        0        0        0
    0   1.0000   2.0000   3.0000
    0   2.0000   4.0000   6.0000
    0   3.0000   6.0000   9.0000

`

如果我在armadillo中使用内置FFT，输出如下：

BBB： (+3.600e+01,+0.000e+00) (-1.200e+01,+1.200e+01) (-1.200e+01,+0.000e+00) (-1.200e+01,-1.200e+01) (-1.200e+01,+1.200e+01) (+0.000e+00,-8.000e+00) (+4.000e+00,-4.000e+00) (+8.000e+00,+0.000e+00) (-1.200e+01,+0.000e+00) (+4.000e+00,-4.000e+00) (+4.000e+00,+0.000e+00) (+4.000e+00,+4.000e+00) (-1.200e+01,-1.200e+01) (+8.000e+00,+0.000e+00) (+4.000e+00,+4.000e+00) (+0.000e+00,+8.000e+00)

但如果我使用FFTW，我会得到：

CCC： (+3.600e+01,+0.000e+00) (+0.000e+00,-8.000e+00) (+4.000e+00,+0.000e+00) (0,0) (-1.200e+01,+1.200e+01) (+4.000e+00,-4.000e+00) (-1.200e+01,-1.200e+01) (0,0) (-1.200e+01,+0.000e+00) (-1.200e+01,+0.000e+00) (+8.000e+00,+0.000e+00) (0,0) (-1.200e+01,+1.200e+01) (+4.000e+00,-4.000e+00) (+4.000e+00,+4.000e+00) (0,0

在矩阵BBB和CCC上执行相应的IFFT，准确地给出起始矩阵AAA。

根据文件：（http://www.fftw.org/fftw3_doc/One_002dDimensional-DFTs-of-Real-Data.html#One_002dDimensional-DFTs-of-Real-Data）： “在许多实际应用中，[i]中的输入数据纯粹是实数，在这种情况下，DFT输出满足”Hermitian“冗余：out [i]是out [n-i]的共轭。可以利用这些情况，以便在速度和内存使用方面实现大约两倍的改进。“

因此，矩阵CCC需要某种操作才能检索Hermetian冗余，但我在数学上也不知道该操作是什么。有人可以帮我吗？

此外，Armadillo以主要格式存储数据，并以行主格式存储FFTW，根据文档，只要您将行/列维以相反的顺序传递给计划函数，这不应该是重要的？

感谢您的光临。

附上我的代码：

#include <iostream>
#include <fftw3.h>
#include "armadillo"

using namespace arma;
using namespace std;


int main(int argc, char** argv)
{

    mat AAA=zeros(4,4);
    mat IBB=zeros(4,4);
    cx_mat BBB(4,4);



    for (int xx=0;xx<=3;xx++){
        for ( int yy=0;yy<=3;yy++){

    AAA(xx,yy)= xx*yy;
        }
    }


    cx_mat CCC (4,4);
    cx_mat CCCC(4,4);
    mat ICC =zeros(4,4);



     fftw_plan plan=fftw_plan_dft_r2c_2d(4, 4,(double(*))&AAA(0,0), (double(*)[2])&CCC(0,0), FFTW_ESTIMATE);
     fftw_plan plan2=fftw_plan_dft_c2r_2d(4, 4,(double(*)[2])&CCCC(0,0), (double(*))&ICC(0,0), FFTW_ESTIMATE);

     //Perform Armadillo FFT (Correct output)
     BBB=fft2(AAA);
     //Perform armadillo IFFT
     IBB=real(ifft2(BBB));




    //Perform FFTW- FFT
    fftw_execute(plan);
    //Allocate fourier array to another array as imput array is destroyed
    CCCC=CCC;

    //Perform FFTW- IFFT on newly allocated array
    fftw_execute(plan2);
    //Must re-normalise the array by the number of elements
    ICC=ICC/(4*4);

    //myst rescale by the number of elements in the array

BBB.print("BBB:");
CCC.print("CCC:");  

IBB.print("IBB:");
ICC.print("ICC:");




    return 0;
}
`

Answer 1

为了补充Kaveh的答案（接受的答案），为了完全恢复Hermetian冗余，必须按照他的答案中的说明执行DFT，然后选择忽略零频率的子矩阵。从左到右翻转，向上翻转，然后是所得矩阵的复共轭。希望这有助于其他人。这是代码

#include <iostream>
#include <fftw3.h>
#include "armadillo"

using namespace arma;
using namespace std;


int main(int argc, char** argv)
{

    mat AAA=zeros(6,6);
    mat IBB=zeros(6,6);
    cx_mat ccgin(6,6);
    cx_mat ccgout(6,6);
    cx_mat BBB(6,6);



    for (int xx=0;xx<=5;xx++){
        for ( int yy=0;yy<=5;yy++){

    AAA(xx,yy)= xx*(xx+yy);
        }
    }


    cx_mat CCC (4,6);
    cx_mat CCCC(4,6);
    mat ICC =zeros(6,6);

    cx_mat con(3,5);



     fftw_plan plan=fftw_plan_dft_r2c_2d(6, 6,(double(*))&AAA(0,0), (double(*)[2])&CCC(0,0), FFTW_ESTIMATE);
     fftw_plan plan2=fftw_plan_dft_c2r_2d(6, 6,(double(*)[2])&CCCC(0,0), (double(*))&ICC(0,0), FFTW_ESTIMATE);

     //Perform Armadillo FFT (Correct output)
     BBB=fft2(AAA);

     //Perform armadillo IFFT
     IBB=real(ifft2(BBB));




    //Perform FFTW- FFT
    fftw_execute(plan);
    //Allocate fourier array to another array as imput array is destroyed
    CCCC=CCC;

    //Perform FFTW- IFFT on newly allocated array
    fftw_execute(plan2);
    //Must re-normalise the array by the number of elements
    ICC=ICC/(6*6);

    //must rescale by the number of elements in the array

BBB.print("BBB:");
CCC.print("CCC:");  

IBB.print("IBB:");
ICC.print("ICC:");


//Recover Hermetian redundancy
con=fliplr(flipud(conj(CCC(span(1,3),span(1,5)))));
con.print("fliplr(flipud(conj(CCC(span(1,3),span(1,5)))));:");


    return 0;
}

Answer 2

你有一个真正的功能A：

0        0        0        0
0   1.0000   2.0000   3.0000
0   2.0000   4.0000   6.0000
0   3.0000   6.0000   9.0000

真实函数的傅里叶变换是埃尔米特。意味着频谱的实部是偶数X(iw) = X(-iw)，并且频谱的虚部是奇数X(iw)=-X(-iw)。换句话说

imag(BBB) == -imag(BBB') && real(BBB) == real(BBB')

但在这种情况下，我知道仅从上对角线上的系数开始，我就可以重建BBB进行逆变换。

fftw_plan_dft_r2c_2d还解释了这就是CCC需要nd / 2 + 1 x nd（1列填充）来存储输出的原因。所以你可以安全地宣布CCC和CCCC：

cx_mat CCC (4,3);
cx_mat CCCC(4,3);

但是当你提到自己FFTW与Armadillo行专业不同时，你也应该在你的代码中反映出它的后果：

cx_mat CCC (3,4);
cx_mat CCCC(3,4);

突然间你的结果看起来完全不同了：

BBB:
(+3.600e+01,+0.000e+00) (-1.200e+01,+1.200e+01) (-1.200e+01,+0.000e+00) (-1.200e+01,-1.200e+01)
(-1.200e+01,+1.200e+01) (+0.000e+00,-8.000e+00) (+4.000e+00,-4.000e+00) (+8.000e+00,+0.000e+00)
(-1.200e+01,+0.000e+00) (+4.000e+00,-4.000e+00) (+4.000e+00,+0.000e+00) (+4.000e+00,+4.000e+00)
(-1.200e+01,-1.200e+01) (+8.000e+00,+0.000e+00) (+4.000e+00,+4.000e+00) (+0.000e+00,+8.000e+00)
CCC:
(+3.600e+01,+0.000e+00) (-1.200e+01,+1.200e+01) (-1.200e+01,+0.000e+00) (-1.200e+01,-1.200e+01)
(-1.200e+01,+1.200e+01) (+0.000e+00,-8.000e+00) (+4.000e+00,-4.000e+00) (+8.000e+00,+0.000e+00)
(-1.200e+01,+0.000e+00) (+4.000e+00,-4.000e+00) (+4.000e+00,+0.000e+00) (+4.000e+00,+4.000e+00)
IBB:
    0        0        0        0
    0   1.0000   2.0000   3.0000
    0   2.0000   4.0000   6.0000
    0   3.0000   6.0000   9.0000
ICC:
    0        0        0        0
    0   1.0000   2.0000   3.0000
    0   2.0000   4.0000   6.0000
    0   3.0000   6.0000   9.0000

根据CCC中的内容，您可以重建其余系数，并且您的逆变换是正确的。如果有什么不清楚的话，请打我。

重建可以举例如下：

(+3.6e+01,+0.0e+00) (-1.2e+01,+1.2e+01) (-1.2e+01,+0.0e+00 (-1.2e+01,-1.2e+01)
(-1.2e+01,+1.2e+01) (+0.0e+00,-8.0e+00) (+4.0e+00,-4.0e+00 (+8.0e+00,+0.0e+00)
(-1.2e+01,+0.0e+00) (+4.0e+00,-4.0e+00) (+4.0e+00,+0.0e+00 (+4.0e+00,+4.0e+00)
conj(CCC(1,2))      conj(CCC(4,2))      conj(CCC(4,3))     conj(CCC(2,2))

CCCC已完成逆变换为真实。

犰狳2D FFTW真实到复杂的DFT Hermetian对称性

2 个答案: