Question

我想要什么

我想找到一个静止点列表，它们的值和位置，以及它们是最小值还是最大值。

我的功能如下：

import numpy as np

def func(x,y):
  return (np.cos(x*10))**2 + (np.sin(y*10))**2

方法

以下是我正在考虑使用的方法：

我实际上已经在Mathematica上做了类似的事情。我将功能区分为一次然后两次。我查看一阶导数为0的点，计算它们的值及其位置。然后我在这些位置采用二阶导数并检查它们是最小值还是最大值。
我也想知道是否只是在x和y中创建函数值的二维数组，并找到该数组的最大值和最小值。但这需要我知道如何精确地定义x和y网格以可靠地捕获函数的行为

对于后一种情况，我已经找到了一些方法，如this one。

我只是想知道，哪种方法在Python的效率，速度，准确性甚至优雅方面更有意义？

Answer 1

找到静止点的列表，它们的值和位置，以及它们是最小值还是最大值。

这通常是一个无法解决的问题。方法1（符号）适用于此，但对于复杂函数，没有静止点的符号解（没有方法用于象征性地求解两个方程的一般系统）。

SymPy的符号解决方案

对于像您的示例这样的简单函数，SymPy可以正常工作。这是一个完整的例子，用于找到静止点并通过Hessian的特征值对它们进行分类。

import sympy as sym
x, y = sym.symbols("x y")
f = sym.cos(x*10)**2 + sym.sin(y*10)**2
gradient = sym.derive_by_array(f, (x, y))
hessian = sym.Matrix(2, 2, sym.derive_by_array(gradient, (x, y)))

到目前为止，Hessian是一个符号矩阵2乘2：[[200*sin(10*x)**2 - 200*cos(10*x)**2, 0], [0, -200*sin(10*y)**2 + 200*cos(10*y)**2]]。接下来，我们通过将gradient等于零来找到静止点，并将它们逐个插入Hessian。

stationary_points = sym.solve(gradient, (x, y))
for p in stationary_points:
    value = f.subs({x: p[0], y: p[1]})
    hess = hessian.subs({x: p[0], y: p[1]})
    eigenvals = hess.eigenvals()
    if all(ev > 0 for ev in eigenvals):
        print("Local minimum at {} with value {}".format(p, value))
    elif all(ev < 0 for ev in eigenvals):
        print("Local maximum at {} with value {}".format(p, value))
    elif any(ev > 0 for ev in eigenvals) and any(ev < 0 for ev in eigenvals):
        print("Saddle point at {} with value {}".format(p, value))
    else:
        print("Could not classify the stationary point at {} with value {}".format(p, value))

最后一个条款是必要的，因为当Hessian只有半明确时，我们无法分辨出哪种静止点（x**2 + y**4和x**2 - y**4具有相同的Hessian at（0,0）但行为不同）。输出：

Saddle point at (0, 0) with value 1
Local maximum at (0, pi/20) with value 2
Saddle point at (0, pi/10) with value 1
Local maximum at (0, 3*pi/20) with value 2
Local minimum at (pi/20, 0) with value 0
Saddle point at (pi/20, pi/20) with value 1
Local minimum at (pi/20, pi/10) with value 0
Saddle point at (pi/20, 3*pi/20) with value 1
Saddle point at (pi/10, 0) with value 1
Local maximum at (pi/10, pi/20) with value 2
Saddle point at (pi/10, pi/10) with value 1
Local maximum at (pi/10, 3*pi/20) with value 2
Local minimum at (3*pi/20, 0) with value 0
Saddle point at (3*pi/20, pi/20) with value 1
Local minimum at (3*pi/20, pi/10) with value 0
Saddle point at (3*pi/20, 3*pi/20) with value 1

显然，solve没有找到所有解决方案（其中有无数的解决方案）。考虑solve vs solveset，但无论如何，处理无限多的解决方案很难。

使用SciPy进行数值优化

SciPy提供了很多numerical minimization routines，包括brute force（这是你的方法2;通常它非常慢）。这些是强大的方法，但请考虑这些要点。

每次运行只会找到一个最小值。
用-f替换f也可以找到最大值。
更改搜索的起点（minimize的参数x0）可能会产生另一个最大值或最小值。尽管如此，你永远不会知道还有其他你还未见过的极值。
这些都不会找到鞍点。

混合策略

使用lambdify可以将符号表达式转换为可以传递给SciPy数值解算器的Python函数。

from scipy.optimize import fsolve
grad = sym.lambdify((x, y), gradient)
fsolve(lambda v: grad(v[0], v[1]), (1, 2))

这会在此示例中返回一些静止点[0.9424778 , 2.04203522]。它取决于最初的猜测，即（1,2）。通常（但并非总是），您将获得一个接近初始猜测的解决方案。

这比直接最小化方法具有优势，因为也可以检测鞍点。尽管如此，找到所有解决方案仍然很困难，因为fsolve的每次运行只会带来一个。

查找用户定义函数的局部最大值和最小值

我想要什么

方法

1 个答案:

SymPy的符号解决方案

使用SciPy进行数值优化

混合策略