Question

将棋盘切成其单位正方形。在每个步骤中，您可以进行一次水平切割或一次垂直切割。第一次切割会将电路板分成两个子板;之后，每次切割将一个剩余的子板分成两个。削减成本等于两个所得子板中较小的剩余单位平方数。例如，2×3板上的水平切割产生两个1×3子板并且成本为3，而垂直切割产生尺寸为2×1和2×2且成本为2的子板。成本是附加的：一系列削减的成本等于其个人成本的总和。描述一种算法，用于计算将×板减少到单位平方的最小总成本。证明其正确性并展示您对其时间复杂性的分析。

我的解决方案如下：我遵循贪婪的方法来检查m（行）和n（列）之间的最高点并进行切割。 2.如果m更高，我会做一个垂直切割而另一个是水平切割。这给了我每一步的最低成本。我遵循分而治之，并递归地遵循这个方法，直到我有m x n = 1 x 1

这似乎有效，但我正在努力的是得出时间复杂度并证明我算法的正确性。

我的时间复杂度表达式是T（m n）= 2 T（m n / 2）+ theta（n）。

有人可以建议我如何做到这一点吗？

Answer 1

最低费用为(n-1)*m+(m-1)*n。您可以通过m横向削减每个n-1和n垂直削减每个m-1付费来获得。那是 O（1）算法。

要切断一个单位的正方形，您需要在(n-1)*(m-1)个案例中支付至少2个，(n-1)+(m-1)至少1个，并且您可以免费获得一个单位正方形。这限制了下面的整体价格：

2*(n-1)*(m-1)+1*(n-1)+(m-1)+0*1 = 2*n*m-n-m = (n-1)*m+(m-1)*n

Answer 2

这是一种动态编程方法，适用于O (m * n * (m + n))。

对于子矩形的每个可能尺寸w * h，计算将其切割为单个正方形的成本f (w, h)。选择第一个剪辑：w * h被剪切为a * h和b * h，或w * c和w * d。切入a * h和b * h的费用为min (a, b) * h + f (a, h) + f (b, h)。切入w * c和w * d的费用为w * min (c, d) + f (w, c) + f (w, d)。把所有这些放在一起，我们有

f (w, h) = min of
                min {for every a such that 0 < a < w}
                    (let b = w - a)
                    min (a, b) * h + f (a, h) + f (b, h)
           and
                min {for every c such that 0 < c < h}
                    (let d = h - c)
                    w * min (c, d) + f (w, c) + f (w, d)

基数为f (1, 1) = 0。

我们可以将所有f (w, h)存储为二维数组，并在两个循环中自下而上计算它们，如下所示：

for w = 1, 2, ..., m:
    for h = 1, 2, ..., n:
        calculate f[w][h] by the formula above in O (w + h)

或者用memoization编写一个递归函数。

这两种方法中的任何一种都适用于O (m * n * (m + n))：我们必须计算m * n个值，并且每个值都计算为O (m + n)个值的最小值。

如果贪婪的方法确实有效（我不知道），它会在O（log m + log n）中这样做。通过直观的论证，例如，如果m = 17和n = 23，则必须考虑以下矩形：

17 * 23
17 * 11 and 17 * 12
 8 * 11 and  8 * 12 and  9 * 11 and  9 * 12
 8 *  5 and  8 *  6 and  9 *  5 and  9 *  6
 4 *  5 and  4 *  6 and  5 *  5 and  5 *  6
 4 *  2 and  4 *  3 and  5 *  2 and  5 *  3
 2 *  2 and  2 *  3 and  3 *  2 and  3 *  3
 1 *  1 and  1 *  2 and  2 *  1 and  2 *  2
 1 *  1 again

正如我们所看到的，矩形的格式为(m / 2^x) * (n / 2^y)，其中x和y位于0和log_2 (m + n)之间，并且四舍五入可以走任何一条路。

一个×棋盘将切入其单位正方形

2 个答案: