我刚刚阅读this other question about the complexity of next_permutation，虽然我对响应（O（n））感到满意，但似乎算法可能会有一个很好的摊销分析，显示出较低的复杂性。有谁知道这样的分析？
答案 0 :(得分：16)
所以看起来我将回答我自己的问题是肯定的 - 是，next_permutation在O（1）摊销时间内运行。
在我进行正式证明之前，我们将快速回顾一下算法的工作原理。首先，它从范围的末尾向开始向后扫描，识别在最后一个元素结束的范围中最长的连续减少子序列。例如，在0 3 4 2 1中，算法会将4 2 1标识为此子序列。接下来，它查看此子序列之前的元素（在上面的示例中为3），然后查找子序列中的最小元素（在上面的示例中为4）。然后交换这两个元素的位置，然后反转识别的序列。因此，如果我们从0 3 4 2 1开始，我们会将3和4交换为0 4 3 2 1，然后将最后三个元素反转为0 4 1 2 3。
为了表明该算法在摊销的O（1）中运行，我们将使用潜在的方法。将Φ定义为序列末尾最长连续递减子序列长度的三倍。在此分析中，我们假设所有元素都是不同的。鉴于此，让我们考虑一下这个算法的运行时间。假设我们从序列的末尾向后扫描并发现最后的m个元素是递减序列的一部分。这需要m + 1次比较。接下来，我们发现该序列的元素中哪一个比该序列之前的元素大一个。这采用与最小情况时间成比例的时间与减少序列的长度成比例，使用线性扫描进行另外的m次比较。例如，交换元素需要花费1个学分的时间，然后反转序列则需要最多m个操作。因此，该步骤的实际运行时间大约为3m + 1.但是，我们必须考虑潜在的变化。在我们反转这个长度为m的序列之后，我们最终将该范围末尾的最长递减序列的长度减少为长度1，因为在末尾反转递减序列会使该范围的最后一个元素按升序排序。这意味着我们的潜力从Φ= 3m变为Φ'= 3 * 1 = 3.因此，潜在的净下降为3 - 3m，因此我们的净摊销时间为3m + 1 +（3 - 3m）= 4 = O（1）。
在前面的分析中，我做了一个简化的假设，即所有值都是唯一的。据我所知，为了使这个证明有效，这个假设是必要的。我将考虑这一点，看看证据是否可以修改为在元素可以包含重复项的情况下工作，并且一旦我完成了细节，我将发布一个编辑到这个答案。
答案 1 :(得分：14)
我不确定std :: next_permutation的确切实现，但是如果它与在wiki中所描述的Narayana Pandita算法相同：http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Systematic_generation_of_all_permutations，
假设元素是不同的，看起来像是O（1）摊销！ （当然，下面可能有错误）
让我们计算完成互换的总数。
我们得到了递归关系
T（n + 1）=（n + 1）T（n）+Θ（n 2 ）
（n + 1）T（n）来自固定第一个元素并对剩余的n进行交换。
Θ（n 2 ）来自改变第一个元素。在我们改变第一个元素的时刻，我们做Θ（n）交换。这样做n次，得到Θ（n 2 ）。
现在让X(n) = T(n)/n!
然后我们得到
X（n + 1）= X（n）+Θ（n 2 ）/（n + 1）！
即存在一些常数C
X（n + 1）＆lt; = X（n）+ Cn 2 /（n + 1）！
写下这样的不等式给我们
X（n + 1） - X（n）＆lt; = Cn 2 /（n + 1）！
X（n）-X（n-1）＆lt; = C（n-1） 2 /（n）！
X（n-1）-X（n-2）＆lt; = C（n-2） 2 /（n-1）！
...
X（2） - X（1）＆lt; = C1 2 /（1 + 1）！
添加这些内容会给我们X(n+1) - X(1) <= C(\sum j = 1 to n (j^2)/(j+1)!)。
由于无限系列\sum j = 1 to infinity j^2/(j+1)!收敛于C'，比如说，我们得到X(n+1) - X(1) <= CC'
请记住，X（n）计算所需的交换平均数（T（n）/ n！）
因此，平均交换次数为O（1）。
由于找到要交换的元素与交换数量呈线性关系，即使您考虑其他操作，也会进行O（1）摊销。
答案 2 :(得分：0)
此处n代表容器中元素的数量，而不是可能排列的总数。该算法必须在每次调用时迭代所有元素的顺序;它需要一对双向迭代器，这意味着要获得一个元素，算法必须首先访问它之前的那个（除非它是第一个或最后一个元素）。双向迭代器允许向后迭代，因此算法可以（实际上必须）执行与元素一样多的交换。我相信标准可以为前向迭代器提供重载，它将以n交换而不是一半n交换为代价来支持数据迭代器。但是，唉，它没有。
当然，对于n可能的排列，算法在O（1）中运行。