使用变精度算术

Question

假设您想要使用vpa知道数字的第一个W有效数字，例如pi。只需使用多个数字调用vpa就无效。请考虑使用W = 35的以下示例：

>> disp(vpa(sym('pi'), 35))
3.1415926535897932384626433832795029

这不起作用的原因是四舍五入。具体来说，上面的结果似乎表明pi的35 - 有效数字是9，实际上它是8的一部分：

>> disp(vpa(sym('pi'), 36))
3.14159265358979323846264338327950288

从上面看，似乎一个解决方案是要求一个额外的十进制并将其丢弃，以便最后存活的小数不会有舍入问题。但这通常也不会 ，因为舍入会导致进位。在Matlab中看到这个例子：

>> disp(vpa(sym('pi'), 79))
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286209
>> disp(vpa(sym('pi'), 80))
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286209
>> disp(vpa(sym('pi'), 81))
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286209
>> disp(vpa(sym('pi'), 82))
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208999
>> disp(vpa(sym('pi'), 83))
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986

或Octave：

>> disp(vpa(sym('pi'), 79))
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286209
>> disp(vpa(sym('pi'), 80))
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862090
>> disp(vpa(sym('pi'), 81))
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620900
>> disp(vpa(sym('pi'), 82))
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208999
>> disp(vpa(sym('pi'), 83))
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986

可以看出，

• 在79中将80所需的小数位数增加到81或vpa会在Matlab中给出相同的答案，因为舍入和进位会使最后的数字为零， Matlab修剪尾随零。
• Octave没有修剪，所以它显示那些零，但它们仍然不正确。

因此，在Matlab和Octave中，正确获取第一个79有效数字要求在这种情况下至少要求三个额外数字。

以上例子说明了

• 由于四舍五入，vpa的最后一位数字可能会被关闭;
• 要求一个额外的数字并不足够;
• 避免舍入问题所需的额外数字的数量可以任意大。如果在想要的数字之后有很长一段时间，就会发生这种情况。

那么，有没有办法获得数字的第一个W有效数字，并保证它们是正确的，即不受舍入问题的影响？

Answer 1

首先，似乎无法预测vpa何时将离开或朝零。以下结果与＆＃34;圆的一半远离零＆＃34;，＆＃34;圆的一半到偶数＆＃34;或任何usual rules：

>> disp(vpa(sym('0.135'),2))
0.14
>> disp(vpa(sym('0.125'),2))
0.12
>> disp(vpa(sym('0.115'),2))
0.11

Octave的结果也不一致，与Matlab不同：

>> disp(vpa(sym('0.135'),2))
0.14
>> disp(vpa(sym('0.125'),2))
0.13
>> disp(vpa(sym('0.115'),2))
0.11

这种不可预测性并没有真正影响答案，但它强制用更通用的术语表达，而不假设任何特定的舍入规则。

让W成为想要的位数。超出该数字的所有数字将被称为不需要的。令N为不需要的部分中的（可能为零）初始9的数量，如果不是9的第一个不需要的数字导致前一个数字从零开始舍入，则A = 1，{ {1}}否则。该图说明了这一点。

根据问题中的观察，有四种可能的情况。在以下示例中，有用数字的数量为A = 0，并使用了Matlab。

1. W = 3，N = 0：无需额外数字。

   A = 0

2. >> disp(vpa(sym('0.12345'),3)) % works: first 3 digits are correct 0.123 ，N = 0：正确获取第一个A = 1数字需要一个额外的数字：

   W = 3

3. >> disp(vpa(sym('0.12378'),3)) % doesn't work 0.124 >> disp(vpa(sym('0.12378'),4)) % works: first 3 digits are correct 0.1238 ，N > 0：A = 0需要额外的数字：

   N

4. >> disp(vpa(sym('0.123994'),3)) % doesn't work 0.124 >> disp(vpa(sym('0.123994'),4)) % doesn't work 0.124 >> disp(vpa(sym('0.123994'),5)) % works: first 3 digits are correct 0.12399 ，N > 0：A = 1需要额外的数字：

   N+1

让>> disp(vpa(sym('0.123997'),3)) % doesn't work 0.124 >> disp(vpa(sym('0.123997'),4)) % doesn't work 0.124 >> disp(vpa(sym('0.123997'),5)) % doesn't work 0.124 >> disp(vpa(sym('0.123997'),6)) % works: first 3 digits are correct 0.123997 表示需要从E询问的额外数字量，以确保第一个vpa数字正确无误。然后，上述四种情况可以通过规则W进行汇总。

在实践中，E = N + A和N都是未知。因此，一种可能的方法是尝试A并继续增加E = 1，直到最后获得的数字不是（可能已修剪）E。然后，丢弃最后0个数字会得到所需的结果。这种方法使用E;也就是说，额外数字的数量是最小可能的，除了在没有实际需要额外数字时使用一个额外数字（上面的情况1）。

下面的代码为实数或虚数实现了这个，输出可能使用科学记数法。不支持复数（从输出字符串中更难找到位数）。

E = max(1, N+A)

Answer 2

问题出现是因为Matlab使用guard digits来提高精度，如Matlab所述：

  

使用vpa函数指定的位数或   数字函数是保证的位数。在内部，   工具箱可以使用比您指定的更多的数字。这些额外的   数字称为保护数字。

要解决这个问题，我们必须关闭保护数字。 （联合国）幸运的是，Matlab不允许用户指定保护数字的数量，这是内部“计算”的内容。但是，John D'Errico写了一个High precision floating point arithmetic class (HPF)，您可以在其中指定保护数字的数量。

DefaultNumberOfDigits 100 0
DefaultDecimalBase 1

将默认的位数设置为100，保护数字为0，并将迁移存储在1的“元组”中。如果我们现在回到Pi示例，我们得到

pie = hpf('pi',79)
pie = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208

pie = hpf('pi',80)
pie = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089

pie = hpf('pi',81)
pie = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899

pie = hpf('pi',82)
pie = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998 

注意：这是解决舍入问题的解决方案。当您开始使用数字进行计算时，仍然存在标准问题。例如。如果数字5的数字精度为100，则不会为sqrt(5)提供100位数的精度。这基本上就是为什么我们有保护数字，他们增加精度“没有”告诉我们。