Question

我正在尝试使用中心差分将高度图转换为法线矩阵，后者将对应于给定点的陡度。

我找到了几个正确结果的链接，但没有解释背后的数学。

  T
L O R
  B

从this link我意识到我可以做到：

Vec3 normal = Vec3(2*(R-L), 2*(B-T), -4).Normalize();

问题是我不知道2*和-4的来源。

在this explanation of central differencing我看到我们应该将该值除以2，但我仍然不知道如何连接所有这些。

我真正想知道的是这背后的线性代数定义。我有一个高度图，我想测量中心差异，我想获得以后用来测量陡度的法向量。

PS：Z轴是高度。

Answer 1

从矢量微积分中，曲面的法线由梯度算子给出：

高度图h(x, y)是函数f的一种特殊形式：

对于离散化的高度图，假设网格大小为1，上述两个导数项的一阶近似值由下式给出：

由于从x到L的{{1}}步骤为2，而R的步骤相同。以上就是你的公式，除以4.当这个向量归一化时，因子4被取消。

（在写这个答案时没有线性代数受到伤害）