如何实现需要有效收缩和扩展连接组件的图算法？

Question

有些算法，如Edmond's Algorithm或Boruvka's Algorithm，需要程序员创建一个图表，该图表是通过将某些节点收缩到一个节点中获得的，然后再将其扩展回来。

收缩的正式描述如下：

让G成为顶点为V和边E的图形。让C成为G的关联组件。 G相对于C的收缩被定义为V - nodes(C) + C*上的图表，其中C*是＆＃34;超级节点＆＃34;代表签约的组成部分。不涉及C中的顶点的边是原样的。 C中具有端点的边缘现在已连接到C*。

我不清楚如何使用邻接列表等表示来实现这样的算法原语。

什么是一种优雅而有效的方式来表示图表，以便他们可以签约，同时记住相关数据以扩展它们？

Answer 1

我会使用 disjoint-set 数据结构，也称为 union-find 数据结构。想象一下，每个顶点最初都是一个集合。现在工作是这样的：

对于收缩：获取参与所有收缩的所有顶点的并集。集合中的所有顶点都由称为所有顶点的父节点的单个顶点表示，您可以将其称为超级节点。该链接包含有关如何执行此操作的所有详细信息。

对于扩展，只需反过来，在最坏的情况下，您必须使每个顶点代表一个集合。所以基本上这种方法适用于非重叠集合操作。

Answer 2

首先，我喜欢Sumeet Singh的回答，你可以先探索一下。我有类似的想法，但细节略有不同。

不幸的是，我现在不在一个可以绘制图表的地方，这在这里真的很有帮助。让我试着清楚地描述我的想法。

解决方案涉及创建两种新类型的节点：

• a＆＃34;超级节点＆＃34;代表合同集
• a＆＃34;转发节点＆＃34;是超级节点的代理，它知道如何撤消＆＃34;它的创造。
• 转发节点有三个引用：它的超级节点，它的＆＃34;外部＆＃34;节点，以及它的内部＆＃34;节点
• 超级节点有一个包含所有转发节点的列表。

收缩：

考虑您的连接组件G.

• 创建一个＆＃34;超级节点＆＃34;表示此连接组件。

• 对于G中的每个节点，可能有边连接到G中的节点而不是。调用那些边e1，e2，e3，...

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• 为每个边创建转发节点F1，F2，F3 ....

• 现在对于每个边缘，假设e1是从A1（不在G中）到B1（在G中）。从图表中移除A1-B1边缘，添加A1-F1边缘。 A1成为F1的外部节点，B1成为F1的内部节点。

扩张正好相反：

• 对于超级节点中的每个转发节点F，从外部节点移除边缘，将外部节点的边缘添加回内部节点，并删除所有转发节点。

• 删除超级节目

实现图形操作时会遇到棘手的问题。如果你问＆＃34;你的邻居是什么＆＃34;转发节点必须将该请求转发给超级节点，并且超级节点必须说出所有转发节点的所有外部节点＆＃34;。等等。