从左上角到右下角遍历2D阵列的方法数

Question

在编程访谈的元素中遇到了这个问题（16.3）。我遵循DP解决方案，但他们也提供了我没有的分析解决方案。问题陈述：

编写一个程序，计算2D阵列中从左上角到右下角的方式。

分析解决方案：

使用从（0,0）到（n-1，m-1）的每条路径是m-1个水平步长和n-1个垂直步长的序列，必须有（n + m-2） ）选择（n-1）=（n + m-2）！/（（n-1）！（m-1）！这样的路径。

我得到的是，等式只是应用n选择k公式，我看到n + m-2 =（n - 1）+（m - 1）。但我真的不知道为什么路径数是（n - 1）+（m - 1）选择（n - 1）开头？从总移动次数中我们选择一组垂直移动？为什么是路径数？

Answer 1

由于每条路径由m-1个水平步长和n-1个垂直步长组成，因此每条路径总共有m + n-2个步长。要选择特定路径，您可以定义垂直或水平步骤。假设您已经定义了所有垂直步骤（即n-1）。一旦定义了它们，其余步骤（水平步骤）就没有实际选择 - 每个水平步骤只有一种可能性（在相邻的垂直步骤之间建立连接）。因此，从m + n-2中选择n-1定义了单个有效路径。并且路径的总数将是从m + n-2中选择n-1的可能性的数量（通过选择m-1而不是n-1可以实现相同的结果）。

见下面的例子：

假设你选择了垂直步骤（红色步骤） - 一旦完成，每个水平步骤只有一个选项（蓝色步骤）。否则，路径将是非连续的并且因此无效。

Answer 2

我认为问题陈述并不完整，分析解决方案只有在每个步骤中才能正常运行 如果我们只能向上或向右，那么我们需要(n - 1) + (m - 1)步骤，要在这些步骤的(n - 1)步骤中到达左上角我们必须正确，而在其他方面我们必须向上 问题的答案是((n + m - 2) choose (n - 1)) or ((n + m - 2) choose (m - 1))