如何缩放圆环并保持圆管半径不变？

Question

如果我有这样的圆环定义。

u,v are in the interval [0, 2π),
R is the distance from the center of the tube to the center of the torus,
r is the radius of the tube. 

我想放大R并保持r不变，如何使用变换矩阵来实现它，还是可能？

Answer 1

您正在寻找的转换不是线性的，因此无法用矩阵表示。

要知道它不是线性的，想象一下环面位于与xy平面平行的原点上。正x轴在两个点处与环面相交;让我们称之为距离原点a更近的一个b。

应用转换后，我们希望a和b都离开原点相同的数量。但由于b是a的倍数，因此这是不可能的：

b = c*a
f(b) - b = f(c*a) - c*a
         = c*f(a) - c*a
         = c*( f(a) - a )

与a和b相关的同一倍数也与a相比b移动了多远。

即使将圆环投影到平面上，您也会遇到同样的问题。