Question

注意：以下代码恰好是C＃，但实际上任何语言的答案对我都有帮助。

假设不是实际的集合（例如，List<T>），我有一系列操作，每个都看起来像这样：

struct ListOperation<T>
{
    public enum OperationType { Insert, Remove }

    public OperationType Type;
    public T Element; // irrelevant for OperationType.Remove
    public int Index;
}

有没有办法根据一系列此类操作有效“重建”一个集合？

特别是，我希望避免明显（低效）的实现，基本上只是创建一个List<T>并调用Insert和RemoveAt - 两个O（N）操作 - 为每个元素。

更新：假设操作的“序列”实际上是一个具体的集合，其计数是已知的并且可以通过索引随机访问（例如，像ListOperation<T>[]一样）。让我们也说已知结果集合的实际数量（但实际上，无论如何，通过计算插入和删除来计算O（N）都是微不足道的）。还有其他想法吗？

Answer 1

我认为你可以通过使用索引平衡二叉树（二进制树，其中每个节点存储其左右节点的数量）在O（n lg n）中执行此操作。使用这种结构，您可以通过遍历树来查找新元素所属的位置，从而在任何点获得最坏情况的O（lg n）插入或删除，然后执行任何必要的修复以维持平衡条件（例如如果它是一棵红黑树，你会做一个红黑树修复。）

鉴于此设置，您可以在O（n lg n）中将所有操作重放到这样的树结构中，因为每个单独的操作最多需要O（lg n）才能完成。一旦你有了树，你就可以对元素进行顺序遍历以使它们按正确的顺序返回，并且可以在O（n）时间内将所有值附加到结果列表中，以获得O（n lg） n）中。

我会更多地考虑这一点，看看我能否想出一个在线性时间内做到这一点的方法。与此同时，这至少表明在次级时间内可以做到这一点。

Answer 2

我预感到可能存在O（n）算法。

第1步：

索引上的Radix-sort 数字。花费O（n）时间。如果从LSB方面完成，这是一个稳定的排序。

第2步：

假设存在索引 i 的操作，但没有使用较小索引的操作尚未完成。然后，我们可以按正确的顺序重放索引 i 的操作。特别是操作'insert'和'remove'正在做什么对我来说并不清楚。最坏的情况是O（n lg n）与二叉树的想法，但也许重播可以在O（n）中完成，因为它是本地的。

第3步：

将第2步提升为归纳论证作为正确性的证明。在索引 i 的步骤之后，有一个不变的维护和一个较短的操作列表，所以通过归纳，...（详情）......

有没有办法根据一系列插入/删除有效地重建集合？

2 个答案:

第1步：

第2步：

第3步：