Question

所以，有一个被称为＆＃34;折叠＆＃34;的通用属性的东西，正好说明：

g [] = i; g (x:xs) = f x (g xs)＆lt; =＆gt; g = fold f i

但是，正如您现在可能的那样，dropWhile等极少数情况下，除非您将其概括为，否则无法将其重新定义为fold f i 。

最简单但最明显的推广方法是重新定义通用属性：

g' y [] = j y; g' y (x:xs) = h y x xs (g' y xs)＆lt; =＆gt; g' y = fold (?) l

此时我可以做出我的假设：我假设存在某种函数p :: a -> b -> b，它将满足等式g' y = fold p l。让我们试着用普遍属性帮助解决给定的方程式，最开始提一下：

g' y [] = j y = fold p l [] = l =＆gt; j y = l

g' y (x:xs) = h y x xs (g' y xs) = fold p l (x:xs) = p x (fold p l xs) = p x (g' y xs) =＆gt;让rs = (g' y xs)， h y x xs rs = p x rs，这是错误的：xs从左边自由发生，因此不能保持平等。

现在让我试着解释我提出的结果并提出问题。我发现问题是xs 出现为未绑定的变量;它适用于各种情况，包括上面提到的dropWhile。这是否意味着可以解决方程的唯一方法是通过＆＃34;扩展＆＃34; rs对一对(rs, xs)？换句话说，fold累积到元组而不是单个类型（忽略元组本身是单一类型的事实）？有没有其他方法可以概括绕过配对？

Answer 1

就像你说的那样。通用属性表示g [] = i; g (x:xs) = f x (g xs) iff g = fold f i。这不能适用于dropWhile的直接定义，因为可能f :: a -> [a] -> [a]不仅取决于当前折叠步骤中的元素和累计值，还取决于左边的整个列表后缀过程（用你的话说，“xs emerg [es]作为一个未绑定的变量”）。可以做的是扭转dropWhile，以便对列表后缀的这种依赖性在累积值中变得明显，无论是通过元组 - 参见。 dropWhilePair from this question，f :: a -> ([a], [a]) -> ([a], [a]) - 或函数 - 如chi's implementation ...

dropWhileFun = foldr (\x k -> \p -> if p x then k p else x : k (const False)) (const [])

...与f :: a -> ((a -> Bool) -> [a]) -> ((a -> Bool) -> [a])。

在一天结束时，普遍属性就是这样 - 一个关于foldr的基本事实。并非所有递归函数都可以通过foldr立即表达，这并非偶然。实际上，你的问题所带来的元组解决方法直接反映了paramorphism的概念（有关它们的解释，请参阅What are paramorphisms? and its exquisite answer by Conor McBride）。从表面看，同构性是对同态的概括（即简单的折叠）;然而，就catamorphisms而言，实现paramorphisms只需要轻微的扭曲。（关于这方面的其他技术评论可以在Categorical Programming With Inductive and Coinductive Types, Varmo Vene's PhD thesis的第3章中找到。）

推广折叠使得它变得足够表达以定义任何有限递归？

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