Python中高维量估算的优秀实现是什么？

Question

我想估算Python中高维形状的体积。如果我在形状内部，我有一个用于查询的oracle。我处于高维度（至少32*32=1024维度）。理想情况下，我不想自己实施，因为：

1. 似乎技术性很强，论文范围在https://arxiv.org/pdf/1401.0120.pdf，似乎非专家可能容易出错
2. 它似乎是一个标准的数学问题（估计高音调的音量）所以假设一个比我在python中可能存在的更好的优化代码似乎是明智的。

有人知道什么是解决这个问题的好方法吗？我应该继续执行我链接的文件中的工具吗？

不确定数学技术限制可能是什么，但是：

1. 我可以访问一个说明+1或-1的oracle，这取决于我是否在形状内。
2. 我想估计一个凸形的形状

现在我只想尝试一下类似的工具：

1. 决定一个真正可能包含我想估计的形状的投标范围
2. 示例很多点（很高兴知道我需要多少样本对我的形状有一个很好的估计）
然而，由于它似乎是一个微妙的技术领域，如果我可以避免它，我宁愿不要太过于hacky（特别是如果我可以在样本数量上获得理论上的保证）

我发布问题之前的相关链接：

• https://www.quora.com/unanswered/What-are-the-fastest-algorithms-to-implement-in-practice-that-estimate-high-dimensional-volumes
• https://arxiv.org/pdf/1401.0120.pdf
• https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.spatial.ConvexHull.html
• https://cstheory.stackexchange.com/questions/9573/computing-volume-of-high-dimensional-convex-polyhedra
• http://www.qhull.org/

Answer 1

这是您的问题的答案：您需要多少采样点来估算某些区域的高维量。

假设集合K包含在一些封闭集合B中，其体积已知为1而不失一般性。由V表示未知的K体积。设f（x）表示K的指示函数：如果x在K中，则f（x）= 1，如果x不在K中，则f（x）= 0。（道歉， stackoverflow上没有LaTeX。）

显然，V恰好是期望E [f（x）]，也是概率P [f（x）= 1]，其中随机变量x在B中随机均匀绘制。此外，方差var（f（x））恰好是V（1-V），其界限在0到0.25之间。

对于x ₁ ，...，x _n 在B中随机均匀且独立地绘制，考虑总和S _n =（ f（x ₁ ）+ ... + f（x _n ））/ n。中心极限定理表明S _n 渐近正态分布N（V，var（f（x））/ n），因此S _n 的标准差是SQRT（V（1-V）/ N）。因此，如果你想要ε的绝对精度（即| S _n -V |≤ε），概率p = 0.999999998027（即6个标准偏差），你应该采用n = 36V（1-V） ）/ε ²

特别是当V很小时，您将需要相对容差，即ε=δV。那么，你需要n = 36（1-V）/（Vδ ² ）。

你在这里看到的问题是，当V很小时，很难获得紧张的精确度，但是造成这种不好的是维数的诅咒，大致上说V可能是O（10 < sup> -d ）维度d。

例如，如果K是在1侧的立方体B中内接半径1/2的球体，那么V大约是（πe/（2d）） ^{d / 2} / sqrt（dπ ），如果你想要一个小于100％的相对误差，那么你将只需要n = O（d ^{d / 2} ）样本。