如何创建均匀间隔和不均匀间隔的网格

Question

我正在尝试为test_Lagrange_interpolation（）创建一个函数。

我需要绘制（1）构建在网格（2）上的拉格朗日插值，其中N = 8个节点，并在x处进行评估。 和 另一个图拉格朗日插值（1）建立在网格（3）上，其中N = 8个节点并在x处进行评估。

因此，换句话说，为了使空间网格均匀，我们可以使用linspace（-1,1,9） 对于不稳定的空间网格我们可以使用什么？

Thankx

Answer 1

首先，我们有Lagrange polynomials类型

• 偶数网格插值意味着我们生成偶数x进行插值。
• 不均匀的网格插值表示x是不均匀的向量。

那么，不均匀插值有什么好处？这是由于偶数插值的一些不足：Runge's phenomenon，这是一个区间边缘振荡的问题，当在一组等间距插值点上使用高次多项式时发生这种问题的

换句话说，请看下图。左边是具有偶数网格的LaGrange多项式，右边的网格是不均匀的（Chebyshev polynomials），我们可以认为在这种情况下，正确的网格（不均匀网格）的性能更好。

代码：

clc; clear;
syms X
subplot(1,2,1)
ezplot('1/(1+25*x^2)',[-3 3])
Y=0;
xx=-3:0.5:3;
yy=1./(1+25*xx.^2);
for ii=1:length(xx)
  tmp=1;
  for jj=1:length(xx)
    if (jj == ii)
        continue;
    end
    tmp=tmp*(X-xx(jj))/(xx(ii)-xx(jj));
  end
  Y=Y+tmp*yy(ii);
end
hold on
ezplot(Y,[-3 3])
axis([-3 3 0 1.2])
title('even grid')

subplot(1,2,2)
ezplot('1/(1+25*x^2)',[-3 3])
Y2=0;
xx=-cos((0:12)/12*pi)*3;
yy=1./(1+25*xx.^2);
for ii=1:length(xx)
  tmp=1;
  for jj=1:length(xx)
    if (jj == ii)
        continue;
    end
    tmp=tmp*(X-xx(jj))/(xx(ii)-xx(jj));
  end
  Y2=Y2+tmp*yy(ii);
end
hold on
ezplot(Y2,[-3 3])
axis([-3 3 0 1.2])
title('uneven grid')

希望它有所帮助！