Question

我需要系统地迭代（偶数）长度为n的平衡二进制字符串集合，即由相同数量的1和0组成的二进制字符串。（这个问题可以用许多等价方式来陈述;例如，给定集合S = {1,2，...，n}，如何迭代S的平衡二分区或大小为n / 2的S的子集。）最有效的方法是什么？

最天真的算法是简单地迭代所有二进制字符串（例如，以标准字典顺序），然后跳过所有不平衡字符串。但这是非常低效的：有2 ^ n个长度为n的二进制字符串，但只有（n选择n / 2）是平衡的。通过斯特林的近似，这个数量渐近地增长为$ \ sqrt {2 /（\ pi n）} 2 ^ n $，所以只有一小部分~1 / n的二进制字符串是平衡的。

在我看来，一个更有效的实现可能会是这样的：你从字符串000 ... 0111 ... 1开始，然后通过一系列相邻的转置01跳过1的左边 - ＆gt; ; 10.但我无法找到一种方法来组织转置，以便每个平衡的二进制字符串生成一次。例如，如果你总是转置最左边的01，那么你会错过许多字符串（例如0110），但是如果你在每一步都将每个可能的转置分支到一个树中，那么你将超过许多字符串（例如0101 - ＆gt ;可以通过以任何顺序执行两个转换来达到1010。

（如果算法很容易推广到能够迭代一组具有任意固定不平衡的n位二进制字符串，那将是很好的，但不是必需的。）

Answer 1

这是一个Python递归（很容易转换为堆栈迭代;内部g函数中可用的任意固定不平衡）：

def f(n):
  def g(n, k, s):
    if len(s) == n:
      return [s]

    if len(s) + k == n:
      return [s + (n - len(s)) * '1']

    if k == 0:
      return [s + (n - len(s)) * '0']

    return g(n, k, s + '0') + g(n, k - 1, s + '1')

  return g(n, n / 2, '')

输出：

=> f(6)
=> ['000111', '001011', '001101', '001110', '010011', '010101', '010110', '011001', '011010', '011100', '100011', '100101', '100110', '101001', '101010', '101100', '110001', '110010', '110100', '111000']

如何迭代平衡二进制字符串？

1 个答案: