Question

我试图在两个代表射弹路径的点之间画一条弧。射弹离开A点的角度是已知的，两点的X / Y坐标都是已知的。

我试图弄清楚这背后的数学，以及如何在c＃中绘制它。

根据我找到的一些路径示例，这是我失败的尝试

var g = new StreamGeometry();
var xDistance = Math.Abs(pointA.X - pointB.X);
var yDistance = Math.Abs(pointA.Y - pointB.Y);
var angle = 60;
var radiusX = xDistance / angle;
var radiusY = yDistance / angle;

using (var gc = g.Open())
{
    gc.BeginFigure(
        startPoint: pointA,
        isFilled: false,
        isClosed: false);

    gc.ArcTo(
        point: pointB,
        size: new Size(radiusX, radiusY),
        rotationAngle: 0d,
        isLargeArc: false,
        sweepDirection: SweepDirection.Clockwise,
        isStroked: true,
        isSmoothJoin: false);
}

非常感谢任何帮助！

编辑＃2（增加清晰度）：对于这个问题，假设物理不起作用（没有重力，速度或任何外力）。保证射弹落在B点并沿着抛物线路径移动。顶点将位于水平轴上的点A和点B之间。它发射的角度是离地面的角度（水平）。

所以A点（Ax，Ay）是众所周知的。 B点（Bx，By）是已知的。出发的角度是已知的。顶点的X半部分是已知的（Vx = Abs（Ax-Bx））。

这真的归结为需要弄清楚顶点的Y坐标吗？

Answer 1

在评论之后，我们需要一个二次贝塞尔曲线。这由3个点，开始，结束和控制点定义：

由以下等式定义：

因此，我们需要使用给定的条件找到P1（请注意，重力强度是隐式确定的）。对于2D坐标，我们需要两个约束/边界条件。它们由：

给出

P0处的切线向量：

我们需要将角度与水平线匹配：
曲线的顶点必须直接位于控制点P1下方：

因此垂直坐标由下式给出：

[如果您想要上面的示例代码，请告诉我们]

现在如何添加二次贝塞尔曲线;谢天谢地，一旦你完成了上述工作，它就是not too difficult

以下方法为简单对称情况创建抛物线几何。角度是从水平方向逆时针测量的度数。

public Geometry CreateParabola(double x1, double x2, double y, double angle)
{
    var startPoint = new Point(x1, y);
    var endPoint = new Point(x2, y);

    var controlPoint = new Point(
        0.5 * (x1 + x2),
        y - 0.5 * (x2 - x1) * Math.Tan(angle * Math.PI / 180));

    var geometry = new StreamGeometry();

    using (var context = geometry.Open())
    {
        context.BeginFigure(startPoint, false, false);
        context.QuadraticBezierTo(controlPoint, endPoint, true, false);
    }

    return geometry;
}

Answer 2

可以通过以下等式评估仅受重力影响的身体运动（忽略空气阻力）：

DistanceX(t) = dx0 + Vx0·t
DistanceY(t) = dy0 + Vy0·t - g/2·t^2

其中

g      : gravity acceleration (9.8 m/s^2)
dx0    : initial position in the X axis
dy0    : initial position in the Y axis
Vy0    : initial X velocity component (muzzle speed)
Vy0    : initial Y velocity component (muzzle speed)

嗯，这似乎没有什么帮助，但让我们进一步调查。你的大炮的枪口速度V我们可以认为是恒定的，所以Vx0和Vy0可以写成：

Vx0 = V·cos(X)
Vy0 = V·sin(X)

X是你射击的角度。好吧，这似乎很有趣，我们终于有一个输入对任何射击大炮的人都有用：X。让我们回到我们的方程并重写它们：

DistanceX(t) = dx0 + V·cos(X)·t
DistanceY(t) = dy0 + V·sin(X)·t - g/2·t^2

现在，让我们思考一下我们要做的事情。我们想找到一种方法来达到特定点P。让我们给它坐标：(A, B)。为了做到这一点，射弹必须同时在两个投影中达到这一点。我们打电话给那个时间T。好的，让我们再次重写我们的方程式：

A = dx0 + V·cos(X)·T
B = dy0 + V·sin(X)·T - g/2·T^2

让我们摆脱一些不必要的常数;如果我们的大炮位于(0, 0)我们的方程现在是：

A = V·cos(X)·T [1]
B = V·sin(X)·T - g/2·T^2 [2]

从[1]我们知道：T = A/(V·cos(X))，所以我们在[2]中使用它：

B = V·sin(X)·A/(V·cos(X)) - g/2·A^2/(V^2·cos^2(X))

或者

B = A·tan(X) - g/2·A^2/(V^2*cos^2(X))

现在一些三角函数会告诉你1/cos^2 = 1 + tan^2所以：

B = A·tan(X) - g/2·A^2/V^2·(1+tan^2(X)) [3]

现在你可以解决tan(X)中的二次方程式。

免责声明：输入数学有点困难，我可能会在某处出错，但你应该明白这一点。

更新上一种方法可以让您在给定枪口速度X时解决达到目标P的角度V。根据你的评论，给出角度X，所以你需要弄清楚的是枪口速度会使射弹以指定的炮角击中目标。如果它让你更舒服，不要将V视为枪口速度，可以把它想象成你试图找到的抛物线的一个形状因素。

在[3]中解决V：

B = A·tan(X) - g/2·A^2/V^2·(1+tan^2(X))

这是一个简单的二次方程式，只是孤立V并取平方根。显然负根没有物理意义，但它也可以，你可以采取任何两种解决方案。如果V没有实数解，那就意味着没有可能的射击（或抛物线）达到P（角度X太大;想象你直接射击起来，你会打击自己，别的什么。）

现在简单地消除参数化方程中的t：

x = V·cos(X)·t [4]
y = V·sin(X)·t - g/2·t^2 [5]

从[4]你有t = x/(V·cos(X))。替代[5]：

y = tan(X)·x - g·x^2 /(2·V^2*cos^2(X))

还有你的抛物线方程式。画出它，然后看到你的镜头达到了标记。

我已经给它一个物理解释因为我觉得它更容易理解，但是你可以将我在这里写的所有名字改为纯粹的数学术语，它并不重要，一天结束时，它的所有数学和抛物线都是一样的，你想要考虑它的任何方式。

基于已知的抛射角在两点之间绘制抛物线弧

2 个答案: