Question

在数组中找到唯一的两个数字，其中一个数字均分为另一个数字 - 也就是说，除法运算的结果是整数

Input Arrays  Output
5 9 2 8       8/2 = 4
9 4 7 3       9/3 = 3
3 8 6 5       6/3 = 2

拥有嵌套循环的暴力方法的时间复杂度为O(n^2)。还有更好的方法，时间复杂度更低吗？

此问题是advent of code的一部分。

Answer 1

给定一个数字A的数组，你可以通过将所有数字相乘得到E来识别分母，然后通过将E除以A _{i th 元素> ²。如果这是一个整数，你就找到了分母，因为乘法不能引入其他因素。}

一旦得到分母，进行第二次独立循环搜索配对分子是一项简单的任务。

这消除了n ²比较。

为什么这样做？首先，我们有一个n-2非除数集合：abcde .. 为了完成数组，我们还有分子x和分母y。

然而，我们知道x和只有x的因子为y，所以它可以表示为yz（z是x除以y的整数余数）

当我们将所有数字相乘时，我们最终得到xyabcde ..，但是当x = yz时，我们也可以说y ² zabcde ..

当我们循环除以数组中的第i个平方元素时，对于大多数元素，我们创建一个分数，例如对于：

y ² zabcde .. / a ² = y ² zbcde .. / a

但是，仅限y和y：

y ² zabcde .. / y ^ 2 = zabcde ..

为什么这不起作用？其他数字也是如此。不能保证a和b在乘以时不能产生另一个公因子。以[9,8,6,4]，9和8乘以等于72的例子为例，但由于它们都包括素数因子2和3,72因子也在数组中。当我们将它们全部乘以1728时，它们与原始的6相结合，以便它可以合理地划分为36。

如何修复？更准确地说，如果y是x的因子，那么y的素因子将唯一地成为x的素因子的子集，所以也许事情可以按照这些方式进行改进。获得素数因子分解不应该根据数组的大小进行缩放，但是比较子集会是如此，所以如果这对它有用的话我也不清楚。

Answer 2

我认为O(n^2)是您在没有任何数据假设的情况下获得的最佳时间复杂度。

如果您无法对数字进行任何说明，那么知道x和y不相互分开就不会告诉您x和z或任何y的{{1}}和z。因此，在最坏的情况下，您必须检查所有数字对 - 等于x, y, z。

Answer 3

显然，通过列出每个元素的除数对与数组中唯一值的散列，我们可以得到O(n * sqrt(m))，其中m是绝对值范围。根据输入，这可能比O(n^2)更有效。

5 9 2 8

list divisor pairs (at most sqrt m iterations per element m)
5 (1,5)
9 (1,9), (3,3)
2 (1,2)
8 (1,8), (2,4) BINGO!

Answer 4

如果你将数组中的所有数字逐步推入树中，当我们发现一个完全因子的数字叶子同时考虑另一个数字时，我们知道我们已经找到了除数。

然而，鉴于我们不知道哪个数是除数，我们确实需要测试所有素数，直到除数的最大因子。任何m位数的最大因子最多是sqrt（m），而任何m位数下的平均素数是m / ln（m）。这意味着我们将进行最多n（sqrt（m）/ ln（sqrt（m））运算，具有非常基本的因子分解和无优化。

更具体一点，算法应该跟踪四件事：一个共同探索的素因子树，数组中的原始数，它当前的部分因子分解，以及它在树中的位置。

对于每个素数，我们应该测试数组中的所有数字（反复考虑重复因子）。如果数字均匀分配，我们a）更新部分分解，b）添加/导航到树的相应子项，c）如果部分分解为1，我们找到了最后一个因子并且可以通过添加终止'1'孩子，d）如果没有，我们可以检查其他留下孩子'1'的号码，以表明他们已被完全分解。

当我们找到一个孩子'1'时，我们可以通过将部分分解（例如树上的所有父母）乘以并退出来识别另一个数字。

为了进一步优化，我们可以缓存数字的分解（部分和全部）。我们还可以停止检查具有独特因素的数字的其他因素，随着时间的推移缩小候选人的范围。