Question

提案：每种类型都是一个类别。

例如：Int是Hask下所有integers的类别。

是这样的吗？

如果是这样，Int类别中的同态，或Int->Int中所有可能的态射是什么？怎么定义它？

编辑：

--In the category of Hask

--Imagine, I have Str category just of strings under Hask, then:

Obj(Str) is Singelton
Hom (Str) is each string
Composition operation is (++) operator --in Haskell

Answer 1

取决于“类型”和“是一个类别”的含义。如果你在编程语言中采用任何具体的类型，那么该类型只有很多可能的值，所以你可以只取所有值的集合，并说它是一个离散的类C，它什么都没有但身份态射。

整数可以通过多种不同方式被视为一个类别：

（Z，+，0）是一个组，因此一个特殊的groupoid具有单个对象（Obj(C) = {*}是唯一的对象，每个整数是一个态射，0是身份态射，+是作文）。
（Z，＆lt; =）是部分有序的集合，posets是特殊的非常简单的类别。态射只是元素之间的无结构箭头，每对整数(a, b)都有一个箭头，a <= b。反身性a <= a是身份态射。及物性就是构成。
（Z，|）（可分性关系）又是一个poset，箭头再次简单地表示某个整数除了一些其他整数：a|b。同样，refl_a = a|a是身份态射，事实是如果a|b和b|c然后a|c给出了构图。

如果您只对类型 Int感兴趣，也可以构建其中有许多不同的类别：

最简单的例子：将Int作为唯一的对象，将Int上的身份函数作为唯一的态射，完成。这是一个类别，通常称为1。
稍微简单的构造：Int上的内同态的幺半群。再次将Int作为您类别的唯一对象。将Hom[Int, Int]作为可在Haskell （1）中实现的所有终止总函数的集合，将此hom-set上的组合定义为函数的普通组合。
< / LI>
你可以稍微使用这个结构：例如，你可以考虑部分函数，或者只考虑可逆函数（这会产生一组自同构，因此是一个非常简单的类群）。
< / LI>

还有许多其他方法来定义“与Int有某种关系”的类别。这取决于你想用它做什么。

关于你的'编辑'：这只是每个幺半群都是一个具有单个对象的类别的特例。对于整数，你可以立即建立一些幺半群：

(Int, +, 0)（a+b是作文，0是身份）
(Int, *, 1)（a*b是作文，1是身份）
(Int, bitwise Xor, 0)（a xor b是作文，0身份）
(Int, bitwise And, 0xF...F)，类似
...（几乎任何其他按位二进制操作）

你总是通过相同的结构从一个幺半群中获得一个类别：给定一个幺半群(M, op, zero)，将无结构点{*}作为单个对象，取M作为一组态射，将zero作为标识，op作为合成，然后获取一个类别。这只是因为monoids 按照定义与具有单个对象的类别相同。

修改：

（1）哦，等等，你需要类似于模数扩展性的等价类，否则f . id与f不一样，并且即使没有整数溢出的“帮助”以及在真实计算机上发生的其他令人讨厌的事情，关联性也不会起作用。请注意，像“这样的属性的不可判断性是否会终止所有输入值？”和“这两个函数是否会为所有输入返回相同的结果？”不会破坏公definedness。

Answer 2

在你的编辑中，你已经确定了幺半群，它是具有一个对象的类别，其中同源集是幺半群的元素。

在任何两个对象之间也有至多一个箭头的类别，这些是部分订单。例如，在Int上：

对象是整数。
当x小于或等于y时，会出现从x到y的箭头。
构成只是传递属性。
身份是反身性。

退化情况是任意两个对象（身份箭头除外）之间的零箭头的偏序，即所谓的离散类别。

Int是所有整数的类别吗？

2 个答案: