Question

我很好奇是否有任何（仅限一阶多态）优化折叠。

对于地图，有森林砍伐：map g (map f ls) => map (g . f) ls和rev (map f ls) => rev_map f ls（Ocaml速度更快）。

但折叠是如此强大，似乎无视任何优化。

Answer 1

明显的：

fold_left f acc (List.map g li) => fold_left (fun acc x -> f acc (g x)) acc li
fold_right f li acc => fold_left f acc li (* if (f,acc) is a monoid *)

您可能对有关“香蕉，镜头，信封和铁丝网的功能编程”主题的经典论文感兴趣。但要注意它是技术性的并且具有难以理解的符号。

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.41.125

编辑：我的第一个规则的第一个版本错了，感谢vincent-hugot编辑。

Answer 2

您可以在折叠处使用砍伐森林。事实上，map/map融合是一个特例。

诀窍是用特殊的build函数替换列表构造：

build :: (forall b. (a -> b -> b) -> b -> b) -> [a]
build g = g (:) []

现在，使用foldr

的标准定义

foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
foldr c n []     = n
foldr c n (x:xs) = c x (foldr c n xs)

我们有以下等价物：

foldr c n (build g) == g c n

（实际上，只有在某些情况下，这是常见的情况。有关详细信息，请参阅"Correctness of short-cut fusion"）。

如果使用map和使用build的消费者编写列表生成函数（包括foldr），则上述等式可以删除大多数中间列表。 Haskell的列表推导被翻译为build和foldr的组合。

这种方法的缺点是它无法处理左侧折叠。 Stream Fusion处理这个问题就好了。它将列表生成器和转换器表示为流（coinductive数据类型，类似于迭代器）。上面的论文非常易读，所以我建议你看一下。

gasche提到的“香蕉”论文详细介绍了各种折叠及其等价物。

最后，还有Bird和Moor的"Algebra of Programming"，其中提到了诸如combining two folds into one之类的转换。

Answer 3

如果您对理论有所了解，我建议您阅读有关catamorphisms，anamorphisms和hylomorphisms的内容。虽然围绕它的类别理论可能看起来有点可怕，但这个概念并不那么困难。

Catamorphisms是使用递归数据结构并产生某种值的函数。 Anamorphisms是给出一些值（一种种子）产生递归数据结构的函数。特别是，其他论文中提到的foldr和build是在列表上构建catamorphisms和anamorphisms的函数。但是这个概念基本上可以应用于任何递归数据结构，例如不同种类的树等。

现在，如果你构建一个带有变形的递归数据结构然后用一个变形消耗它，你会得到所谓的hylomorphism。在这种情况下，您实际上不需要中间结构。您可以跳过创建并销毁它。这通常称为deforestation。

关于map：这个函数很有意思，它既是一个变形又是一个变形：

map使用一个列表并生成一些东西;还
map生成一个列表，消耗了一些东西。

因此，您可以将两个地图map f . map g的组合视为具有变形（map g）的变形（map f）的组合，形成一个同性异形。所以你知道可以通过不创建中间列表来优化（砍伐森林）。

具体一点：您可以用两种方式编写map，一种使用foldr，另一种使用build：

mapAna :: (a -> b) -> [a] -> [b]
mapAna f xs = build (mapAna' f xs)

mapAna' :: (a -> b) -> [a] -> (b -> c -> c) -> c -> c
mapAna' f []       cons nil = nil
mapAna' f (x : xs) cons nil = (f x) `cons` (mapAna' f xs cons nil)


mapCata :: (a -> b) -> [a] -> [b]
mapCata f xs = foldr (\x ys -> f x : ys) [] xs

和作品map f (map g zs)为mapCata f (mapAna g zs)，经过一些简化并应用foldr c n (build g) == g c n会产生map (f . g)。

折叠优化

3 个答案: