Question

下面的代码解决了1D热方程，该方程表示杆的末端保持零温度，初始条件为10 * np.sin（np.pi * x）。

Dirichlet边界条件（两端零温度）如何适用于此计算？我被告知矩阵A的上部，下部行包含两个非零元素，缺少的第三个元素是 Dirichlet条件。但我不明白这种情况会影响计算的机制。如果A中缺少元素，u_ {0}或u_ {n}如何为零？

下面的有限差分方法使用Crank-Nicholson。

import numpy as np
import scipy.linalg

# Number of internal points
N = 200

# Calculate Spatial Step-Size
h = 1/(N+1.0)
k = h/2

x = np.linspace(0,1,N+2)
x = x[1:-1] # get rid of the '0' and '1' at each end

# Initial Conditions
u = np.transpose(np.mat(10*np.sin(np.pi*x)))

# second derivative matrix
I2 = -2*np.eye(N)
E = np.diag(np.ones((N-1)), k=1)
D2 = (I2 + E + E.T)/(h**2)

I = np.eye(N)

TFinal = 1
NumOfTimeSteps = int(TFinal/k)

for i in range(NumOfTimeSteps):
    # Solve the System: (I - k/2*D2) u_new = (I + k/2*D2)*u_old
    A = (I - k/2*D2)
    b = np.dot((I + k/2*D2), u)
    u = scipy.linalg.solve(A, b)

Answer 1

让我们看一个简单的例子。我们假设N = 3，即三个内点，但我们首先还要在矩阵D2中包含描述近似二阶导数的边界点：

      1  /  1 -2  1  0  0 \
D2 = --- |  0  1 -2  1  0 |
     h^2 \  0  0  1 -2  1 /

第一行表示x_1处的近似二阶导数为1/h^2 * (u_0 - 2*u_1 + u_2)。我们知道u_0 = 0，由于Dirichlet边界条件的同质性，所以我们可以简单地从等式中省略它，并得到矩阵的相同结果

      1  /  0 -2  1  0  0 \
D2 = --- |  0  1 -2  1  0 |
     h^2 \  0  0  1 -2  0 /

由于u_0和u_{n+1}不是真正的未知数 - 它们已知为零 - 我们可以完全从矩阵中删除它们，我们得到

      1  /  2  1  0 \
D2 = --- |  1 -2  1 |
     h^2 \  0  1 -2 /

矩阵中缺少的条目实际上对应于边界条件为零的事实。

Answer 2

我被告知上排，下排矩阵A包含两个非零元素和缺少的第三个 element（即零）是 Dirichlet条件。

我不确定你被告知了什么，但这就是我对这个问题的了解。

Dirichlet边界条件确定了电位的值（在这种情况下为温度）。 Neumann边界条件将指定一个点处的通量或一阶导数。如果在地表有对流边界条件，则需要这样做。

对于Dirichlet边界条件的处理，您可以在不考虑边界条件的情况下制定系统矩阵。如果您在给定节点处具有固定温度，则可以通过以下方式处理：

将给定节点的右侧矢量中的行设置为等于边界温度。将左侧矩阵中该行的所有列清零，并将与该节点对应的对角元素设置为等于一。

边界条件在热力方程和Crank-Nicholson有限差分解中的应用

2 个答案: